Question

是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)y=sin²x+acos x+

5

8

a-

3

2

在閉區(qū)間[-

π

2

，

π

3

]上的最大值是1？若存在，求出對(duì)應(yīng)的a值？若不存在，試說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,存在型,三角函數(shù)的求值

分析：假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)最大值是1．化簡函數(shù)并令t=cosx，求得0≤t≤1．將函數(shù)式配方，可得y=-（t-

1

2

a）²+

a2

4

+

5

8

a-

1

2

，討論①當(dāng)0≤

a

2

≤1，即0≤a≤2時(shí)，③當(dāng)

a

2

＞1，即a＞2時(shí)，③當(dāng)

a

2

＞1，即a＞2時(shí)，函數(shù)的最大值，解方程即可得到．

解答： 解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)y=sin²x+acos x+

5

8

a-

3

2

在閉區(qū)間[-

π

2

，

π

3

]上的最大值是1．
由已知得y=-cos²x+acosx+

5

8

a-

1

2

=-（cosx-

1

2

a）²+

a2

4

+

5

8

a-

1

2

，
令t=cosx，則由于x∈[-

π

2

，

π

3

]，則0≤t≤1，
即有y=-（t-

1

2

a）²+

a2

4

+

5

8

a-

1

2

，0≤t≤1．
①當(dāng)0≤

a

2

≤1，即0≤a≤2時(shí)，則當(dāng)t=

a

2

，
即cosx=

a

2

時(shí)．y_max=

a2

4

+

5

8

a-

1

2

=1，解得a=

3

2

或a=-4（舍去）．
②當(dāng)

a

2

＜0，即a＜0時(shí)，則當(dāng)t=0，即cos x=0時(shí)，
y_max=

5

8

a-

1

2

=1，解得a=

12

5

（舍去）．
③當(dāng)

a

2

＞1，即a＞2時(shí)，則當(dāng)t=1，即cos x=1時(shí)，
y_max=a+

5

8

a-

3

2

=1，解得a=

20

13

（舍去）．
綜上知，存在a=

3

2

符合題意．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的最值的求法，考查換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值，注意討論對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，考查運(yùn)算化簡能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．