已知直線（1+4k）x-（2-3k）y-（3+12k）=0（k∈R）所經(jīng)過的定點F恰好是橢圓C的一個焦點，且橢圓C上的點到點F的最大距離為8．則橢圓C的標準方程為
x2
25
+
y2
16
=1
x2
25
+
y2
16
=1
．
分析：條件中給出一個直線系，需要先求出直線所過的定點，根據(jù)定點是橢圓的焦點，及橢圓C上的點到點F的最大距離為8，寫出橢圓中三個字母系數(shù)要滿足的條件，解方程組得到結果，寫出橢圓的方程．
解答：解：由（1+4k）x-（2-3k）y-（3+12k）=0得（x-2y-3）+k（4x+3y-12）=0，
由
x-2y-3=0
4x+3y-12=0
，解得F（3，0）．
設橢圓C的標準方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，則
c=3
a+c=8
a2=b2+c2

解得 a=5，b=4，c=3，
從而橢圓C的標準方程為
x2
25
+
y2
16
=1．
故答案為：
x2
25
+
y2
16
=1
點評：本題考查直線與圓錐曲線之間的關系，題目中首先求橢圓的方程，這是這類題目常用的一種形式，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線（1+4k）x-（2-3k）y+（2+8k）=0（k∈R）所經(jīng)過的定點F，直線l：x=-4與x軸的交點是圓C的圓心，圓C恰好經(jīng)過坐標原點O，設G是圓C上任意一點．
（1）求點F和圓C的方程；
（2）若直線FG與直線l交于點T，且G為線段FT的中點，求直線FG被圓C所截得的弦長；
（3）在平面上是否存在一點P，使得
GF
GP
=
1
2
？若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2010•江蘇模擬）已知直線（1+4k）x-（2-3k）y-（3+12k）=0（k∈R）所經(jīng)過的定點F恰好是橢圓C的一個焦點，且橢圓C上的點到點F的最大距離為8．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）已知圓O：x2+y2=1，直線l：mx+ny=1．試證明當點P（m，n）在橢圓C上運動時，直線l與圓O恒相交；并求直線l被圓O所截得的弦長的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年江蘇省無錫市江陰二中高二（上）期中數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知直線（1+4k）x-（2-3k）y+（2+8k）=0（k∈R）所經(jīng)過的定點F，直線l：x=-4與x軸的交點是圓C的圓心，圓C恰好經(jīng)過坐標原點O，設G是圓C上任意一點．
（1）求點F和圓C的方程；
（2）若直線FG與直線l交于點T，且G為線段FT的中點，求直線FG被圓C所截得的弦長；
（3）在平面上是否存在一點P，使得？若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：2008-2009學年江蘇省揚州中學高三（下）2月月考數(shù)學試卷（解析版） 題型：填空題

已知直線（1+4k）x-（2-3k）y-（3+12k）=0（k∈R）所經(jīng)過的定點F恰好是橢圓C的一個焦點，且橢圓C上的點到點F的最大距離為8．則橢圓C的標準方程為    ．

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