(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+…+(n+3)=
(n+3)(n+4)
2
(n∈N*);
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
<2
n
(n∈N*
考點(diǎn):數(shù)學(xué)歸納法
專題:點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法
分析:(1)首先證明當(dāng)n=10等式成立,再假設(shè)n=k時(shí)等式成立,得到等式1+2+3+…+(k+3)=
(k+3)(k+4)
2
,下面證明當(dāng)n=k+1時(shí)等式成立,根據(jù)前面的假設(shè)化簡即可得到結(jié)果,最后得到結(jié)論.
(2)直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟證明不等式,(1)驗(yàn)證n=2時(shí)不等式成立;(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時(shí)成立,利用放縮法證明n=k+1時(shí),不等式也成立.
解答: 證明:(1)①當(dāng)n=1時(shí),左邊=1+2+3+4=10,右邊=
(1+3)(1+4)
2
=10

左邊=右邊.
②假設(shè)n=k時(shí)等式成立,即1+2+3+…+(k+3)=
(k+3)(k+4)
2

那么n=k+1時(shí),等式左邊=1+2+3+…+(k+3)+(k+4)=
(k+3)(k+4)
2
+(k+4)=
(k+4)(k+5)
2
.等式成立.
綜上①②可知1+2+3+…+(n+3)=
(n+3)(n+4)
2
對于任意的正整數(shù)成立.
(2)證明:①當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=2,∴n=1不等式成立.
②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時(shí)成立,即
1+
1
2
+
1
3
+…+
1
k
<2
k

那么當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
k
+
1
k+1
2
k
+
1
k+1
=
∵4k2+4k<4k2+4k+1,可得2
k2+k
<2k+1
,即:2
k
+
1
k+1
<2
k+1
,
1+
1
2
+
1
3
+…+
1
k
+
1
k+1
<2
k+1

這就是說n=k+1時(shí)不等式也成立.
綜上①②可知不等式對所有的n∈N*都成立.
點(diǎn)評:本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立,用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的步驟是:第一步驗(yàn)證當(dāng)n=n0時(shí)命題成立,第二步假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立,那么再證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.本題解題的關(guān)鍵是利用第二步假設(shè)中結(jié)論證明當(dāng)n=k+1時(shí)成立,本題是一個(gè)中檔題目.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+…+
1
an
=n2(n∈N*)
,令bn=anan+1,Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.
(1)求an和Sn;
(2)對任意的正整數(shù)n,不等式Sn>λ-
1
2
恒成立,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知y=f(x)為R上的可導(dǎo)函數(shù),當(dāng)x≠0時(shí),f′(x)+
f(x)
x
>0,則關(guān)于的函數(shù)g(x)=f(x)+
2
x
的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( 。
A、0B、1
C、2D、0或 2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)f(x)=x2-2x-3的單調(diào)增區(qū)間是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)滿足對任意x∈R,有f(x+2)=f(x)-f(1),且當(dāng)x∈[2,3]時(shí),f(x)=-2x2+12x-18,若函數(shù)y=f(x)-loga(x+1)在(0,+∞)上至少有三個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是( 。
A、(0,
3
3
B、(0,
2
2
C、(0,
5
5
D、(0,
6
6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

曲線y=x
1
2
與y=x2圍成的封閉區(qū)域的面積是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

己知等比數(shù)列{an}所有項(xiàng)均為正數(shù),首項(xiàng)a1=1,且a4,3a3,a5成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)數(shù)列{an+1-λan}的前n項(xiàng)和為Sn,若S6=63,求實(shí)數(shù)λ的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列對應(yīng)關(guān)系:
①A={1,4,9},B={-3,-2,-1,1,2,3},f:x→x的平方根;
②A=R,B=R,f:x→x的倒數(shù);
③A=R,B=R,f:x→x2-2;
④A表示平面內(nèi)周長為5的所有三角形組成集合,B是平面內(nèi)所有的點(diǎn)的集合,f:三角形→三角形的外心.
其中是A到B的映射的是( 。
A、③④B、②④C、①③D、②③

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若函數(shù)f(x)=x2+2,g(x)=4x-1的定義域都是集合A,函數(shù)f(x)和g(x)的值域分別為S和T.
(1)若A=[1,2],求S∩T;
(2)若A=[0,m],且S⊆T,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)若對于A中的每一個(gè)x值,都有f(x)=g(x),求集合A.

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同步練習(xí)冊答案