Question

16．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC．
（1）求cosA，sinA的值；
（2）若cosB+cosC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，求cosC+$\sqrt{2}$sinC的值．

Answer 1

分析 （1）通過正弦定理化簡已知條件，利用兩角和的正弦函數(shù)與二倍角公式，結(jié)合誰教你的內(nèi)角和即可求A；
（2）由三角形內(nèi)角和定理化簡已知可得：cosB+$\sqrt{2}$sinB=$\sqrt{3}$，解得tanB，cosB，sinB的值，利用兩角和的余弦函數(shù)公式可求cosC，進(jìn)而可求sinC的值，即可計(jì)算得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，3acosA=bcosC+ccosB，
由正弦定理可知：3sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB，
可得3sinAcosA=sin（B+C）=sinA，
∵A為三角形內(nèi)角，sinA≠0，
∴cosA=$\frac{1}{3}$，sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$…（6分）
（2）∵cosB+cosC=cosB-cos（A+B）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴cosB-cosAcosB+sinAsinB=cosB-$\frac{1}{3}$cosB+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$sinB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，可得：cosB+$\sqrt{2}$sinB=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{（cosB+\sqrt{2}sinB）^{2}}{si{n}^{2}B+co{s}^{2}B}$=3，化簡可得：tan²B-2$\sqrt{2}$tanB+2=0，解得：tanB=$\sqrt{2}$，
∴cosB=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}B}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{\sqrt{6}}{3}$-$\frac{1}{3}×$$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴cosC+$\sqrt{2}$sinC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$+$\sqrt{2}×$$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\sqrt{3}$…（12分）

點(diǎn)評 此題考查了正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，考查了兩角和的余弦函數(shù)公式以及特殊角的三角函數(shù)值在解三角形中的應(yīng)用，熟練掌握正弦、余弦定理是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．