Question

已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足

a-2ea

b

=

2-c

d

=1，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（a-c）²+（b-d）²的最小值為（　�。�

• A、4
• B、8
• C、12
• D、18

Answer 1

考點(diǎn)：兩點(diǎn)間的距離公式

專題：直線與圓

分析：由已知得點(diǎn)（a，b）在曲線y=x-2e^x上，點(diǎn)（c，d）在曲線y=2-x上，（a-c）²+（b-d）²的幾何意義就是曲線y=x-2e^x到曲線y=2-x上點(diǎn)的距離最小值的平方．由此能求出（a-c）²+（b-d）²的最小值．

解答：解：∵實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足

a-2ea

b

=

2-c

d

=1，∴b=a-2e^a，d=2-c，
∴點(diǎn)（a，b）在曲線y=x-2e^x上，點(diǎn)（c，d）在曲線y=2-x上，
（a-c）²+（b-d）²的幾何意義就是曲線y=x-2e^x到曲線y=2-x上點(diǎn)的距離最小值的平方．
考查曲線y=x-2e^x平行于直線y=2-x的切線，
∵y′=1-2e^x，令y′=1-2e^x=-1，
解得x=0，∴切點(diǎn)為（0，-2），
該切點(diǎn)到直線y=2-x的距離d=

|0-2-2|

1+1

=2

2

就是所要求的兩曲線間的最小距離，
故（a-c）²+（b-d）²的最小值為d²=8．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查代數(shù)式的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意兩點(diǎn)間距離公式的合理運(yùn)用．