Question

（本小題滿分12分）已知是橢圓的兩焦點(diǎn)，是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn)，且滿足過點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線分別交橢圓于兩點(diǎn)，

（1）求點(diǎn)坐標(biāo);

（2）求證:直線的斜率為定值;

（3）求面積的最大值．

 

Answer 1

（1）；（2）證明如下；（3）；

【解析】

試題分析：（1）屬于基本題型，設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，P點(diǎn)既滿足橢圓的方程，又滿足,故可容易的解出P的坐標(biāo)；（2）由斜率公式為，所以我們必須尋求以及的關(guān)系，這就需要我們通過聯(lián)立方程，列出韋達(dá)定理，從而得到以及的關(guān)系；（3）對于求解三角形的面積，我們通常有兩種方法，一種是借助角，利用，一種是，對于本題，由于沒有角的關(guān)系，所以，我們采用第二種辦法，通過點(diǎn)到直線的距離公式，求出三角形的高即可；

試題解析：（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為

（2）由題意知，兩直線的斜率必存在

設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為

由，消去得

設(shè)，由韋達(dá)定理得

同理可得

所以為定值。

（3）由（2）可設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立方程，得，消去得

由判別式大于0，得

易知點(diǎn)到直線的距離為

所以

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，滿足

所以面積的最大值為

考點(diǎn)：?考查向量積的公式?斜率公式③點(diǎn)到直線的距離公式