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14.某籃球隊(duì)對(duì)籃球運(yùn)動(dòng)員的籃球技能進(jìn)行統(tǒng)計(jì)研究,針對(duì)籃球運(yùn)動(dòng)員在投籃命中時(shí),運(yùn)動(dòng)員在籃筐中心的水平距離這項(xiàng)指標(biāo),對(duì)某運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了若干場(chǎng)次的統(tǒng)計(jì),依據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制如下頻率分布直方圖:
(Ⅰ)依據(jù)頻率分布直方圖估算該運(yùn)動(dòng)員投籃命中時(shí),他到籃筐中心的水平距離的中位數(shù);
(Ⅱ)在某場(chǎng)比賽中,考察他前4次投籃命中到籃筐中心的水平距離的情況,并且規(guī)定:運(yùn)動(dòng)員投籃命中時(shí),他到籃筐中心的水平距離不少于4米的記1分,否則扣掉1分.用隨機(jī)變量X表示第4次投籃后的總分,將頻率視為概率,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

分析 (I) 設(shè)該運(yùn)動(dòng)員到籃筐的水平距離的中位數(shù)為x,推導(dǎo)出0.40×(5-x)+0.20×1=0.5,由此能求出該運(yùn)動(dòng)員到籃筐的水平距離的中位數(shù).
(2)由頻率分布直方圖得投籃命中時(shí)距離籃筐距離超過(guò)4米的概率為p=35,隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為-4,-2,0,2,4,分別求出相應(yīng)的概率,由此能求出X的分布列和EX.

解答 解:(I) 設(shè)該運(yùn)動(dòng)員到籃筐的水平距離的中位數(shù)為x,
∵0.05×2+0.10+0.20<0.5,且(0.40+0.20)×1=0.6>0.5,
∴x∈[4,5]…(2分)
由0.40×(5-x)+0.20×1=0.5,解得x=4.25,
∴該運(yùn)動(dòng)員到籃筐的水平距離的中位數(shù)是4.25(米).
(Ⅱ)由頻率分布直方圖得投籃命中時(shí)距離籃筐距離超過(guò)4米的概率為p=35,
隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為-4,-2,0,2,4,…(8分)
PX=4=254=16625,
PX=2=C34251353=216625,
PX=2=C1425335=96625
PX=0=C24252352=216625,
PX=2=C34251353=216625
PX=4=354=81625,
∴X的分布列為:

X-4-2024
P166259662521662521662581625
EX=(-4)×16625+(-2)×96625+0×216625+2×216625+4×81625=45.…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查中位數(shù)的求法,考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

4.如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AB的中點(diǎn).
(1)證明:BC1∥平面A1CD;
(2)設(shè)AA1=AC=CB=2,AB=22,求異面直線BC1與A1D所成角的大小.

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5.已知圓的方程為x2+y2-8x+15=0,若直線y=kx+2上至少存在一點(diǎn),使得以該點(diǎn)為圓心,半徑為1的圓與圓C有公共點(diǎn),則k的最小值是( �。�
A.43B.53C.35D.54

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2.已知橢圓x2a2+y2b2=1ab0的離心率為12,且過(guò)點(diǎn)132,其長(zhǎng)軸的左右兩個(gè)端點(diǎn)分別為A,B,直線l:y=32x+m交橢圓于兩點(diǎn)C,D.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線AD,CB的斜率分別為k1,k2,若k1:k2=2:1,求m的值.

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9.設(shè)動(dòng)直線l:y=kx+m(其中k,m為整數(shù))與橢圓x216+y212=1交于不同兩點(diǎn)A,B,與雙曲線x24y212=1交于不同兩點(diǎn)C,D,且AC+BD=0,則符合上述條件的直線l共有( �。�
A.5條B.7條C.9條D.11條

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19.已知橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)的離心率為12,它的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為43
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F,過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn),直線l2與直線x=4交于N點(diǎn).
(1)求證:線段PQ的中點(diǎn)在直線ON上;
(2)求|PQ||FN|的取值范圍.

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6.某學(xué)校有120名教師,且年齡都在20歲到60歲之間,各年齡段人數(shù)按分組,其頻率分布直方圖如圖所示,學(xué)校要求每名教師都要參加兩項(xiàng)培訓(xùn),培訓(xùn)結(jié)束后進(jìn)行結(jié)業(yè)考試.已知各年齡段兩項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)如表示,假設(shè)兩項(xiàng)培訓(xùn)是相互獨(dú)立的,結(jié)業(yè)考試成績(jī)也互不影響.
年齡分組A項(xiàng)培訓(xùn)成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)B項(xiàng)培訓(xùn)成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)
[20,30)3018
[30,40)3624
[40,50)129
[50,60]43
(1)若用分層抽樣法從全校教師中抽取一個(gè)容量為40的樣本,求從年齡段[20,30)抽取的人數(shù);
(2)求全校教師的平均年齡;
(3)隨機(jī)從年齡段[20,30)和[30,40)內(nèi)各抽取1人,設(shè)這兩人中兩項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績(jī)都優(yōu)秀的人數(shù)為X,求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

3.設(shè)a>0,若nlim1+12+122+123++12n11+a+a2+an112,則a的取值范圍是[34,+∞).

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4.甲、乙、丙人應(yīng)邀參加某綜藝欄目的猜數(shù)游戲,猜中則游戲結(jié)束,主持人先給出數(shù)字所在區(qū)間[3,10],讓甲猜(所猜數(shù)字為整數(shù),下同),如果甲猜中,甲將獲得1000元獎(jiǎng)金;如果甲未猜中,主持人給出數(shù)字所在區(qū)間[5,8],讓乙猜,如果乙猜中,甲和乙均可獲得5000元獎(jiǎng)金;如果乙未猜中,主持人給出數(shù)字所在區(qū)間[6,7],讓丙猜,如果丙猜中,甲、乙和丙均可獲得2000元獎(jiǎng)金,否則游戲結(jié)束.
(1)求甲至少獲得5000元獎(jiǎng)金的概率;
(2)記乙獲得的獎(jiǎng)金為X元,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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