設(shè){an}和{bn}均為無窮數(shù)列.
(1)若{an}和{bn}均為等比數(shù)列,試研究:{an+bn}和{anbn}是否是等比數(shù)列?請證明你的結(jié)論;若是等比數(shù)列,請寫出其前n項和公式.
(2)請類比(1),針對等差數(shù)列提出相應(yīng)的真命題(不必證明),并寫出相應(yīng)的等差數(shù)列的前n項和公式(用首項與公差表示).
【答案】
分析:(1)討論兩數(shù)列的公比,根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可判定{a
n+b
n}和{a
nb
n}是否是等比數(shù)列,然后利用等比數(shù)列的求和公式解之即可;
(2)利用等比中的乘類比到等差中的和,討論公差是否為0,從而求出相應(yīng)的等差數(shù)列的前n項和公式.
解答:解:(1)①設(shè)c
n=a
n+b
n,
則
-(
+
)(
+
)
=a
1b
1(q
1-q
2)2
當(dāng)q
1=q
2時,對任意的n∈N,n≥2,
=c
n+1c
n-1恒成立,
故{a
n+b
n}為等比數(shù)列; (3分)
∴S
n=
(1分)
當(dāng)q
1≠q
2時,
對任意的n∈N,n≥2,
≠c
n+1c
n-1,{a
n+b
n}不是等比數(shù)列.(2分)
②設(shè)d
n=a
nb
n,
對于任意n∈N
*,
,{a
nb
n}是等比數(shù)列. (3分)
S
n=
(1分)
(2)設(shè){a
n},{b
n}均為等差數(shù)列,公差分別為d
1,d
2,則:
①{a
n+b
n}為等差數(shù)列;S
n=(a
1+b
1)n+
(d
1+d
2)(2分)
②當(dāng)d
1與d
2至少有一個為0時,{a
nb
n}是等差數(shù)列,(1分)
若d
1=0,S
n=a
1b
1n+
a
1d
2;(1分)
若d
2=0,S
n=a
1b
1n+
b
1d
1.(1分)
③當(dāng)d
1與d
2都不為0時,{a
nb
n}一定不是等差數(shù)列.(1分)
點評:本題主要考查了類比推理,以及等比數(shù)列與等差數(shù)列的判定,同時考查了計算能力和分析求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.