Question

（2009•成都二模）質檢部門將對12個廠家生產(chǎn)的嬰幼兒奶粉進行質量抽檢，若被抽檢廠家的奶粉經(jīng)檢驗合格，則該廠家的奶粉即可投放市場；若檢驗不合格，則該廠家的奶粉將不能投放市場且作廢品處理．假定這12個廠家中只有2個廠家的奶粉存在質量問題（即檢驗不能合格），但不知道是哪兩個廠家的奶粉．
（I）從中任意選取3個廠家的奶粉進行檢驗，求至少有2個廠家的奶粉檢驗合格的概率；
（Ⅱ）每次從中任意抽取一個廠家的奶粉進行檢驗（抽檢不重復），記首次抽檢到合格奶粉時已經(jīng)檢驗出奶粉存在質量問題的廠家個數(shù)為隨即變量ξ，求ξ的分布列及數(shù)學期望．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)隨意任意選取3個廠家進行抽檢，至少有2個廠家的奶粉檢驗合格有兩種情形；根據(jù)等可能事件的概率公式進行計算，最后求出它們的和得到結果．
（II）由題意得到隨即變量ξ的取值為0，1，2．根據(jù)變量對應的事件求出概率，寫出分布列和期望．

解答：解：（I）任意選取3個廠家進行抽檢，至少有2個廠家的奶粉檢驗合格有兩種情形；
一是選取抽檢的3個廠家中，恰有2個廠家的奶粉合格，此時的概率為
P₁=

C 2 10 C 1 2

C 3 12

=

9

22

二是選取抽檢的3個廠家的奶粉均合格，此時的概率為P₂=

C 3 10

C 3 12

=

12

22

；
故所求的概率為P=P₁+P₂=

21

22

（Ⅱ）由題意，隨即變量ξ的取值為0，1，2．
∴P（ξ=0）=

10

12

=

5

6

，
P（ξ=1）=

2

12

×

10

11

=

5

33

，
P（ξ=2）=

2

12

×

1

11

=

1

66

，
∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P	5 6	5 33	1 66

∴ξ的數(shù)學期望Eξ=0×

5

6

+1×

5

33

+2×

1

66

=

2

11

點評：本題主要考查等可能事件的概率，相互獨立事件、互斥事件的概率，離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望等基礎知識，同時考查運用概率知識分析問題和解決問題的能力．