Question

12．已知橢圓C的一個焦點為（0，$\sqrt{3}$），且經(jīng)過點P（$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$）．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）已知A（1，0），直線l與橢圓C交于M、N兩點，且AM⊥AN；
（Ⅰ）若|AM|=|AN|，求直線l的方程；
（II）求△MAN面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）設橢圓的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由題意可得c=$\sqrt{3}$，將P（$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$）代入橢圓方程，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；
（2）（Ⅰ）設直線l的方程為y=kx+t，代入橢圓方程4x²+y²=4，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），運用判別式大于0，以及韋達定理和中點坐標公式和兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)：斜邊的中線即為斜邊的一半，解方程可得k，t，進而得到所求直線的方程；
（II）設直線AM的方程為y=k（x-1），由題意可得直線y=-$\frac{1}{k}$（x-1），聯(lián)立橢圓方程，求得M，N的坐標，由弦長公式，運用三角形的面積公式，化簡整理，運用單調(diào)性，可得最大值．

解答 解：（1）設橢圓的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得c=$\sqrt{3}$，即a²-b²=3，
將P（$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$）代入橢圓方程，可得
$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4^{2}}$=1，
解方程可得a=2，b=1，
可得橢圓的方程為$\frac{{y}^{2}}{4}$+x²=1；
（2）（Ⅰ）設直線l的方程為y=kx+t，代入橢圓方程4x²+y²=4，
可得（4+k²）x²+2ktx+t²-4=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=-$\frac{2kt}{4+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{t}^{2}-4}{4+{k}^{2}}$，
△=4k²t²-4（4+k²）（t²-4）＞0，化為4+k²＞t²，
MN的中點H為（-$\frac{kt}{4+{k}^{2}}$，$\frac{4t}{4+{k}^{2}}$），
由題意可得AH⊥MN，可得
k_AH=-$\frac{1}{k}$，即有$\frac{4t}{-kt-4-{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$，
化為4+k²=3kt，①
可得H（-$\frac{1}{3}$，$\frac{4}{3k}$），
又|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{4{k}^{2}{t}^{2}}{（4+{k}^{2}）^{2}}-\frac{4（{t}^{2}-4）}{4+{k}^{2}}}$
=4$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{4+{k}^{2}-{t}^{2}}}{4+{k}^{2}}$=2|AH|=2$\sqrt{\frac{16}{9}+\frac{16}{9{k}^{2}}}$，
化簡可得3kt=5t²，可得t=0（舍去）或t=$\frac{3k}{5}$．
代入①，解得k=$\sqrt{5}$，t=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$；或k=-$\sqrt{5}$，t=-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
即有直線l的方程為y=$\sqrt{5}$x+$\frac{3\sqrt{5}}{5}$或y=-$\sqrt{5}$x-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$；
（II）設直線AM的方程為y=k（x-1），由題意可得直線y=-$\frac{1}{k}$（x-1），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}+4{x}^{2}=4}\end{array}\right.$可得（4+k²）x²-2k²x+k²-4=0，
由1•x_M=$\frac{{k}^{2}-4}{4+{k}^{2}}$，即有x_M=$\frac{{k}^{2}-4}{4+{k}^{2}}$，
則|AM|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|1-$\frac{{k}^{2}-4}{4+{k}^{2}}$|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{8}{4+{k}^{2}}$，
將k換為-$\frac{1}{k}$，可得|AN|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$•$\frac{8}{4+\frac{1}{{k}^{2}}}$，
則△MAN面積為S=$\frac{1}{2}$|AM|•|AN|=32•$\frac{1}{17+4（{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}）}$•$\sqrt{2+（{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}）}$，
設m=$\sqrt{2+（{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}）}$≥$\sqrt{2+2\sqrt{{k}^{2}•\frac{1}{{k}^{2}}}}$=2，即有S=32•$\frac{m}{9+4{m}^{2}}$=32•$\frac{1}{4m+\frac{9}{m}}$，
由4m+$\frac{9}{m}$在[2，+∞）遞增，可得m=2即k=±1時，
即有△MAN面積取得最大值$\frac{64}{25}$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用點滿足橢圓方程，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，以及中點坐標公式和兩直線垂直的條件，同時考查三角形的面積的最值的求法，注意運用函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．