Question

i+i²+i³+…+i²⁰⁰⁵=________．

Answer 1

i
分析：根據虛數單位的性質看出要求的和式中每四項之和等于0，則用2005除以4得到余數是1，則要求的和式等于i²⁰⁰⁵，求解i²⁰⁰⁵即可得到結果．本題也可以運用推導等比數列的求和公式的方法，即錯位相減法求解．
解答：法一
∵i+i²+i³+i⁴=i-1-i+1=0，
∴復數z=i+i²+i³+…+i²⁰⁰⁵
=（i+i²+i³+i⁴）+（i⁵+i⁶+i⁷+i⁸）+…+（i²⁰⁰¹+i²⁰⁰²+i²⁰⁰³+i²⁰⁰⁴）+i²⁰⁰⁵
=i²⁰⁰⁵
=（i²）¹⁰⁰²•i
=（-1）¹⁰⁰²•i
=i．
所以i+i²+i³+…+i²⁰⁰⁵=i．
故答案為i．
法二
設S=i+i²+i³+…+i²⁰⁰⁵①
等式兩邊同時乘以i得：
iS=i²+i³+…+i²⁰⁰⁶②
①-②得：（1-i）S=i-i²⁰⁰⁶，
所以，S=
=
=
=i．
故答案為i．
點評：本題考查虛數單位的性質及其應用，訓練了實數運算中的錯位相減法在計算復數題中的運用，此題也可以運用等比數列求和公式求解，是基礎題．