設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)=x3-x2-x+a.

(1)求的極值;

(2)當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，曲線與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn).

解：(1)=3x2-2x-1.

若=0,則x=-,1.

當(dāng)x變化時(shí), , 的變化情況如下表.

x

 (-∞,-)

-

(-,1)

1

(1, +∞)

+

0

-

0

+

所以的極大值是f(-)=＋a,極小值是f(1)=a－1.

(2)函數(shù)=x3-x2-x+a=(x-1)2(x+1)+a-1.

由此可知x取足夠大的正數(shù)時(shí),有＞0,x取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)有＜0.

所以曲線與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn).

結(jié)合的單調(diào)性可知.

當(dāng)的極大值+a＜0,即a∈(-∞,-)時(shí),它的極小值也小于0,因此曲線與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn),它在(1,+∞)上;

當(dāng)的極小值a-1＞0,即a∈(1,+∞)時(shí),它的極大值也大于0，因此曲線與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn),它在(-∞,-)上.?

所以當(dāng)a∈(-∞,-)∪(1,+∞)時(shí),曲線與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn).

 


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=2x2+（x-a）|x-a|．
（1）若f（0）≥1，求a的取值范圍；
（2）求f（x）的最小值；
（3）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=2x2+（x-a）|x-a|
（1）求f（a+1）；
（2）若a=3，用分段函數(shù)的形式表示f（x），并求出f（x）的最小值；
（3）求f（x）的最小值g（a）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=2x2+（x-a）|x-a|．
（Ⅰ）若f（0）≥4，求a的取值范圍；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年四川省高三高考極限壓軸文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù),x

(1) 當(dāng)a= 0時(shí)，求的極大值、極小值；

(2) 若x>0時(shí)，，求a的取值范圍；.

(3) 若函數(shù)在區(qū)間（0,1)上是減函數(shù)，求a的取值范圍.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

       (本題滿分14分)設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù),x

(1) 當(dāng)a= 0時(shí)，求的極大值、極小值；

(2) 若x>0時(shí)，，求a的取值范圍；.

(3) 若函數(shù)在區(qū)間（0,1)上是減函數(shù)，求a的取值范圍.

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