Question

（2014•郴州三模）在平面直角坐標系xOy中，已知P是函數(shù)f（x）=xlnx﹣x的圖象上的動點，該曲線在點P處的切線l交y軸于點M（0，yM），過點P作l的垂線交y軸于點N（0，yN）．則的范圍是（ ）

A.（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） B.（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）

C.[3，+∞） D.（﹣∞，﹣3]

 

Answer 1

A

【解析】

試題分析：設(shè)出P的坐標，求導(dǎo)函數(shù)，可得曲線在點P處的切線l的方程，過點P作l的垂線的方程，令x﹣0，可得yM=﹣a，yN=alna﹣a+，進而可求=﹣lna+1﹣，利用基本不等式，即可求出的范圍．

【解析】
設(shè)P（a，alna﹣a），則

∵f（x）=xlnx﹣x，

∴f′（x）=lnx，

∴曲線在點P處的切線l的方程為y﹣alna+a=lna（x﹣a），即y=﹣a+xlna．

令x=0，可得yM=﹣a，

過點P作l的垂線的方程為y﹣alna+a=﹣（x﹣a），

令x=0，可得yN=alna﹣a+，

∴=﹣lna+1﹣，

∵lna+≥2或lna+≤﹣2，

∴﹣（lna+）≤﹣2或﹣（lna+）≥2，

∴=﹣lna+1﹣的范圍是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．

故選A．