Question

已知x₁＞0，x₁≠1，且xn+1=

xn( x 2 n +3)

3 x 2 n +1

，（n=1，2，…）．試證：數(shù)列{x_n}或者對(duì)任意自然數(shù)n都滿足x_n＜x_n+1，或者對(duì)任意自然數(shù)n都滿足x_n＞x_n+1．

Answer 1

分析：首先，xn+1-xn=

xn( x 2 n +3)

3 x 2 n +1

-xn=

2xn(1- x 2 n )

3 x 2 n +1

，故x_n與x_n+1，的大小關(guān)系取決于x_n與1的大小，猜想分兩類：x₁＜1和x₁＞1，最后利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可．

解答：證：首先，xn+1-xn=

xn( x 2 n +3)

3 x 2 n +1

-xn=

2xn(1- x 2 n )

3 x 2 n +1

，
由于x₁＞0，由數(shù)列{x_n}的定義可知x_n＞0，（n=1，2，…）
所以，x_n+1-x_n與1-x_n²的符號(hào)相同．
①假定x₁＜1，我們用數(shù)學(xué)歸納法證明1-x_n²＞0（n∈N）
顯然，n=1時(shí)，1-x₁²＞0
設(shè)n=k時(shí)1-x_k²＞0，那么當(dāng)n=k+1時(shí)
1-

x

2 k+1

=1-[

xk( x 2 k +3)

3 x 2 k +1

]2=

(1- x 2 k )3

(3 x 2 k +1)2

＞0，
因此，對(duì)一切自然數(shù)n都有1-x_n²＞0，
從而對(duì)一切自然數(shù)n都有x_n＜x_n+1
②若x₁＞1，
當(dāng)n=1時(shí)，1-x₁²＜0；
設(shè)n=k時(shí)1-x_k²＜0，那么當(dāng)n=k+1時(shí)
1-

x

2 k+1

=1-[

xk( x 2 k +3)

3 x 2 k +1

]2=

(1- x 2 k )3

(3 x 2 k +1)2

＜0，
因此，對(duì)一切自然數(shù)n都有1-x_n²＜0，
從而對(duì)一切自然數(shù)n都有x_n＞x_n+1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式、不等式的證明，屬于中檔題．