【題目】已知函數(shù) .

（1）求時，的單調(diào)區(qū)間；

（2）若存在，使得對任意的，都有，求的取值范圍，并證明.

【答案】（1）在為減函數(shù)，為增函數(shù)；（2），證明見解析

【解析】

（1）由得，對函數(shù)求導，得到， 令，用導數(shù)法方法判斷其單調(diào)性，求出在上為增函數(shù)，再由，即可求出結果；

（2）先對函數(shù)求導，得到，根據(jù)題意，得到為在的極小值點，故，設，對函數(shù)求導，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，得到，推出，再令，用導數(shù)的方法求出其單調(diào)性，進而可得出結果.

（1）當時，，

，

令，則，

所以，由得；由得，

即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

因此，所以在上單調(diào)遞增；

即在上為增函數(shù).

又因為，

所以當時，；當時，；

故在為減函數(shù)，為增函數(shù).

(2) ，

因為對任意的恒成立，所以為在的極小值點，故①.

設，則當 時，，

所以在上為增函數(shù)，而，.

由①可知，從而 ，故.

又由，即，

所以

.

令，其中，則，為上的減函數(shù)，

故，而，

所以.

練習冊系列答案
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【題目】已知函數(shù)．

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晉級成功

晉級失敗

合計

男

16

女

50

合計

（1）求圖中的值；

（2）根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表，并判斷能否有的把握認為“晉級成功”與性別有關？

（3）將頻率視為概率，從本次考試的所有人員中，隨機抽取4人進行約談，記這4人中晉級失敗的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望．

（參考公式：，其中）

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.780

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

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