Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+2，x∈[-4，4]
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y=f（x）在區(qū)間[-4，4]上是單調(diào)函數(shù)
（2）若函數(shù)f（x）（x∈R）的圖象與直線y=-2無(wú)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍
（3）若函數(shù)f（x）在[-4，4]上的最小值為-16，求a的值．

Answer 1

解：二次函數(shù)f（x）=x²+2ax+2的對(duì)稱軸為x=-a，
（1）由于此函數(shù)在區(qū)間[-4，4]上是單調(diào)函數(shù)，
可得f（x）的對(duì)稱軸落在區(qū)間[-4，4]外，
即-a≤-4或-a≥4，解得a≤-4或a≥4，
故a的取值范圍是a≤-4或a≥4；
（2）若函數(shù)f（x）（x∈R）的圖象與直線y=-2無(wú)交點(diǎn)，只需f（x）_min＞-2，
又由于二次函數(shù)f（x）=x²+2ax+2是開口向上的二次函數(shù)，
則＞-2，解得-2＜a＜2，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是-2＜a＜2；
（3）①當(dāng)a≤-4時(shí)，
二次函數(shù)f（x）=x²+2ax+2在區(qū)間[-4，4]上是單調(diào)減函數(shù)，
則f（x）_min=f（4）=18+8a，解f（x）_min=-16得到
②當(dāng)-4＜a＜4時(shí)，二次函數(shù)f（x）=x²+2ax+2在區(qū)間[-4，4]上不是單調(diào)函數(shù)，
則，解f（x）_min=-16得到 （舍）
③當(dāng)a≥4時(shí)，
二次函數(shù)f（x）=x²+2ax+2在區(qū)間[-4，4]上是單調(diào)增函數(shù)，
則f（x）_min=f（-4）=18-8a，解f（x）_min=-16得到
綜上可得 ．
分析：（1）由于二次函數(shù)在區(qū)間[-4，4]上是單調(diào)函數(shù)，可得f（x）的對(duì)稱軸落在區(qū)間[-4，4]外，即-a≤-4或-a≥4，解出m即可；
（2）由題意知，若函數(shù)f（x）（x∈R）的圖象與直線y=-2無(wú)交點(diǎn)，只需f（x）_min＞-2，問題轉(zhuǎn)而求函數(shù)f（x）的最小值，由于f（x）是開口向上的二次函數(shù)，則；
（3）由（1）可知，需分三種情況①當(dāng)a≤-4時(shí)，②當(dāng)-4＜a＜4時(shí)，③當(dāng)a≥4時(shí)，分別求出最小值，讓f（x）_min=-16，解出a即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考察二次函數(shù)的單調(diào)性與最值，注意含參的二次函數(shù)求最值時(shí)，要對(duì)參數(shù)分類討論．