Question

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且2a_n=S_n-n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分類(lèi)討論，當(dāng)n≥2時(shí)，化簡(jiǎn)可得a_n-1=2（a_n-1-1），從而判斷出{a_n-1}是以-2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，從而求通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用裂項(xiàng)法化簡(jiǎn)b_n=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{-{2}^{n}}{（1-{2}^{n}）（1-{2}^{n+1}）}$=$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n}-1}$，從而求和．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=S₁-1，
解得，a₁=-1；
當(dāng)n≥2時(shí)，2a_n=S_n-n，2a_n-1=S_n-1-（n-1），
兩式作差可得，
2a_n-2a_n-1=a_n-1，
即a_n-1=2（a_n-1-1），
故{a_n-1}是以-2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
故a_n-1=-2•2^n-1=-2ⁿ，
故a_n=1-2ⁿ；
（Ⅱ）b_n=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{-{2}^{n}}{（1-{2}^{n}）（1-{2}^{n+1}）}$=$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n}-1}$，
∴T_n=$\frac{1}{3}$-1+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n}-1}$）
=$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$-1=$\frac{2-{2}^{n+1}}{{2}^{n+1}-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的判斷及分類(lèi)討論的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了構(gòu)造法與裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用．