Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率是

2

2

，且過點（2，

2

）．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若A，B，C是橢圓E上的三個動點，A，B關于原點對稱，且△ABC的面積是4

2

，設直線AB，OC的斜率分別是k₁，k₂，求k₁•k₂值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：方程思想,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的離心率、橢圓過點（2，

2

）以及a²、b²、c²的關系，列出方程組，求出a²與b²即可；
（Ⅱ）由AB的直線方程與橢圓E的方程聯(lián)立，求出|AB|的大��；再由OC的直線方程與橢圓E的方程聯(lián)立，求出點C的坐標，
計算點C到直線AB的距離d，利用△ABC的面積求出k₁k₂的值．

解答： 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，得；
 橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1的離心率是

2

2

，
∴e=

c

a

=

2

2

①，
又橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1過點（2，

2

），
∴

4

a2

+

2

b2

=1②，
又∵a²=b²+c²③，
由①、②、③組成方程組，解得；
a²=8，b²=4；
∴橢圓E的方程為 

x2

8

+

y2

4

=1；

（Ⅱ）根據(jù)題意，得；
AB所在直線方程為y=k₁x，
代入橢圓E的方程并整理得：
（2k12+1）x²=8，
解得x=±

2 2

2k12+1

，
∴|AB|=

1+k12

|x₁-x₂|=

1+k12

•

4 2

2k12+1

；
又OC所在直線方程為：y=k₂x，
與橢圓E的方程聯(lián)立，得

y=k2x x2 8 + y2 4 =1

；
解得C（±

2 2

2k22+1

，±

2 2 k2

2k22+1

），
∴點C到直線AB的距離為d=

| 2 2 (k1-k2) 2k22+1 |

1+k12

；
∴S_△ABC=

1

2

|AB|•d=

8|k1-k2|

(2k12+1)(2k22+1)

=4

2

，
∴2k12-4k₁k₂+2k22=4k12k22+2k12+2k22+1，
∴4k12k22+4k₁k₂+1=0，
∴k₁k₂=-

1

2

．

點評：本題考查了直線與橢圓方程的綜合應用問題，也考查了方程組的解法與應用問題，點到直線的距離以及三角形面積的計算問題，是綜合性題目．