(本小題滿分13分)

    對于各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列,如果(=1,2,3,…)為完全平方數(shù),則稱數(shù)

具有“性質(zhì)”。

    不論數(shù)列是否具有“性質(zhì)”,如果存在與不是同一數(shù)列的,且

時(shí)滿足下面兩個(gè)條件:①的一個(gè)排列;②數(shù)列具有“性質(zhì)”,則稱數(shù)列具有“變換性質(zhì)”。

(I)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和,證明數(shù)列具有“性質(zhì)”;

(II)試判斷數(shù)列1,2,3,4,5和數(shù)列1,2,3,…,11是否具有“變換性質(zhì)”,具有此性質(zhì)的數(shù)列請寫出相應(yīng)的數(shù)列,不具此性質(zhì)的說明理由;

(III)對于有限項(xiàng)數(shù)列:1,2,3,…,,某人已經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)時(shí),

數(shù)列具有“變換性質(zhì)”,試證明:當(dāng)”時(shí),數(shù)列也具有“變換性質(zhì)”。

 

【答案】

(I)證明見解析。

(II)數(shù)列1,2,3,4,5具有“變換P性質(zhì)”,

數(shù)列為3,2,1,5,4。

數(shù)列1,2,3,…,11不具有“變換P性質(zhì)”

因?yàn)?1,4都只有5的和才能構(gòu)成完全平方數(shù)

所以數(shù)列1,2,3,…,11不具有“變換P性質(zhì)”

(III)證明見解析。

【解析】(I)當(dāng)時(shí),                                      …………1分

    …………2分

。                                             …………3分

所以是完全平方數(shù),

數(shù)列具有“P性質(zhì)”                                                                   …………4分

(II)數(shù)列1,2,3,4,5具有“變換P性質(zhì)”,                              …………5分

數(shù)列為3,2,1,5,4                                                            …………6分

數(shù)列1,2,3,…,11不具有“變換P性質(zhì)”     …………7分

因?yàn)?1,4都只有5的和才能構(gòu)成完全平方數(shù)

所以數(shù)列1,2,3,…,11不具有“變換P性質(zhì)”                             …………8分

(III)設(shè)

注意到

由于,

所以

所以

                                                                              …………10分

因?yàn)楫?dāng)時(shí),數(shù)列具有“變換P性質(zhì)”

所以1,2,…,4m+4-j-1可以排列成

使得都是平方數(shù)                                                  …………11分

另外,可以按相反順序排列,

即排列為

使得

                              …………12分

所以1,2,可以排列成

滿足都是平方數(shù).

即當(dāng)時(shí),數(shù)列A也具有“變換P性質(zhì)”…………13分

 

 

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(3) 求數(shù)列的前項(xiàng)和

 

 

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