直線l經(jīng)過點(1,1),若拋物線y2=x上存在兩點關于直線l對稱,求直線l斜率的取值范圍.
分析:設岀存在兩點關于直線對稱,則兩點連線與對稱軸垂直,兩點的中點在對稱軸上;將兩點代入拋物線作差,得到斜率與中點的關系,
據(jù)點在拋物線上,利用基本不等式求出斜率范圍.
解答:解:設直線l的方程為y-1=k(x-1),弦的兩個端點分別是A(x1,y1)、B(x2,y2),代入拋物線方程并作差得(y1+y2)(y1-y2)=x1-x2
∵kAB=
y1-y2
x1-x2
=-
1
k
,
∴y1+y2=-k.注意到AB的中點在直線l:y-1=k(x-1)上,∴x1+x2=1-
2
k

∴y12+y22=x1+x2=1-
2
k

由y12+y22
(y1+y2)2
2
,得1-
2
k
k2
2
?
(k+2)(k2-2k+2)
2k
<0
?-2<k<0.
點評:本題考查解決對稱問題的基本方法是利用兩點關于直線對稱時,兩點連線與對稱軸垂直,兩點中點在對稱軸上.
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