Question

8．在多面體ABCDEFG中，四邊形ABCD與CDEF均為邊長為4的正方形，CF⊥平面ABCD，BG⊥平面ABCD，且AB=2BG=4BH．
（1）求證：GH⊥平面EFG；
（2）求三棱錐G-ADE的體積．

Answer 1

分析 （I）利用勾股定理證明GH⊥FG，由EF⊥平面BCFG得EF⊥GH，故而得出GH⊥平面EFG；
（II）先證明AB⊥平面ADE，再由公式V_G-ADE=V_B-ADE=$\frac{1}{3}{S}_{△ADE}•AB$計(jì)算棱錐的體積．

解答 證明：（I）連結(jié)FH，
∵CD⊥CF，CD⊥BC，∴CD⊥平面BCFG，
又GH?平面BCFG，
∴CD⊥GH，又CD∥EF，
∴EF⊥GH，
∵AB=4，∴BH=1，BG=2，CF=4，CH=3，
∴GH=$\sqrt{5}$，F(xiàn)G=2$\sqrt{5}$，F(xiàn)H=5，
∴GH²+FG²=FH²，∴GH⊥FG．
又EF?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，EF∩FG=F，
∴GH⊥平面EFG．
（2）∵四邊形ABCD與CDEF均為邊長為4的正方形，
∴CD⊥DE，CD⊥AD，CD∥AB．
又AD?平面ADE，DE?平面ADE，AD∩DE=D，
∴CD⊥平面ADE，又AB∥CD，
∴AB⊥平面ADE．
∴V_G-ADE=V_B-ADE=$\frac{1}{3}{S}_{△ADE}•AB$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×4$=$\frac{32}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．