Question

【題目】已知函數(shù)，為的導數(shù)．

（1）求的最值；

（2）若對恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）最小值為，無最大值（2）

【解析】

（1）本題首先可求出以及，然后繪出函數(shù)、以及的圖像，結合圖像即可得出結果；

（2）本題首先可判斷出函數(shù)是增函數(shù)和奇函數(shù)，然后根據(jù)增函數(shù)和奇函數(shù)的性質將轉化為，最后令，通過求解函數(shù)的最值即可得出結果.

（1）因為函數(shù)，

所以，，

如圖，分別繪出函數(shù)、以及的圖像，

結合函數(shù)圖像，易知：

當時，，，函數(shù)是增函數(shù)，

當時，，，函數(shù)是減函數(shù)，

當時，，此時函數(shù)取最小值，，

故有最小值，最小值為，無最大值，

（2）因為，

所以函數(shù)是奇函數(shù)，

因為由（1）可知，，

所以函數(shù)是增函數(shù)，

故，即，，

化簡得，

因為對恒成立，

所以恒成立，

令，則，

當時，，函數(shù)是減函數(shù)，

當時，，函數(shù)是增函數(shù)，

當時，，函數(shù)取最大值，，

因為恒成立，所以的取值范圍為.