Question

9．求函數(shù)y=2sin²x+2cosx-3的最小值、最大值，并寫出取最小值、最大值時(shí)自變量x的集合．

Answer 1

分析 將函數(shù)進(jìn)行降次化簡(jiǎn)，利用二次函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可解決．

解答 解：y=2sin²x+2cosx-3
?y=2（1-cos²x）+2cosx-3
?y=$-2{（cosx-\frac{1}{2}）^2}-\frac{1}{2}$，
∵-1≤cosx≤1，
∴當(dāng)$cosx=\frac{1}{2}$時(shí)，y取得最大值，即${y_{max}}=-\frac{1}{2}$，
此時(shí)自變量x的集合為{x|$x=±\frac{π}{3}+2kπ$，k∈Z}；
當(dāng)cosx=-1時(shí)，y取得最大值，即y_min=-5，
此時(shí)自變量x的集合為{x|x=2kπ，k∈Z}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的降次化簡(jiǎn)，構(gòu)造二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合的運(yùn)用．屬于中檔題．