Question

如圖，一條螺旋線是用以下方法畫成的：△ABC是邊長為1的正三角形，曲線CA₁，A₁A₂，A₂A₃是分別以A、B、C為圓心，AC、BA₁、CA₂為半徑畫的圓弧，曲線CA₁A₂A₃稱為螺旋線的第一圈，然后又以A為圓心，AA₃為半徑畫圓弧…這樣畫到第n圈，則所得螺旋線的長度l_n為（　　）

• A、（3n²+n）π
• B、（3n²-n+1）π
• C、

  (3n2+n)π

  2

• D、

  (3n2-n+1)π

  2

Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,推理和證明

分析：根據(jù)弧長公式分別求出CA₁，A₁A₂，A₂A₃…A_3n-2A_3n-1，A_3n-1A_3n的長度，從而可知是

2π

3

為首項(xiàng)，

2π

3

為公差，項(xiàng)數(shù)為3n的等差數(shù)列，然后利用等差數(shù)列求和公式進(jìn)行求解即可．

解答： 解：根據(jù)弧長公式知CA₁，A₁A₂，A₂A₃…A_3n-2A_3n-1，A_3n-1A_3n的長度分別為：

2π 3 ×π×1

π

，

2π 3 ×π×2

π

，…，

2π 3 ×π×3n

π

，
化簡得：

2π

3

，2×

2π

3

，3×

2π

3

，…，3n×

2π

3

，此數(shù)列是

2π

3

為首項(xiàng)，

2π

3

為公差，項(xiàng)數(shù)為3n的等差數(shù)列，
則根據(jù)等差數(shù)列的求和公式得S_n=3n×

2π

3

+

3n(3n-1)

2

×

2π

3

=2nπ+nπ（3n-1）=n（3n+1）π=（3n²+n）π．
故選：A

點(diǎn)評：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和數(shù)列的求和，解題的關(guān)鍵是歸納總結(jié)得到各弧長成等差數(shù)列，屬于中檔題．