Question

橢圓+y²=1上存在一點(diǎn)P，使得它對兩個焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的張角∠F₁PF₂=，則該橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A．（0，]
B．[，1）
C．（0，]
D．[，1）

Answer 1

【答案】分析：首先根據(jù)橢圓方程，求出它的離心率為：e=，然后設(shè)點(diǎn)橢圓上P的坐標(biāo)為（x，y），滿足∠F₁PF₂=，利用數(shù)量積為0列出關(guān)于x、y和a、c的等式．接下來利用橢圓方程消去y，得到關(guān)于x的式子，再利用橢圓上點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍：-a≤x≤a，建立關(guān)于字母a的不等式，最后解此不等式得出a的范圍，代入離心率關(guān)于a的表達(dá)式，即可得到該橢圓的離心率的取值范圍．
解答：解：∵橢圓方程為：+y²=0，
∴b²=1，可得c²=a²-1，c=
∴橢圓的離心率為e=
又∵橢圓上一點(diǎn)P，使得角∠F₁PF₂=，
∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），結(jié)合F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
可得=（-c-x，-y），=（c-x，-y），
∴=+=0…①
∵P（x，y）在橢圓+y²=1上，
∴=1-，代入①可得+1-=0
將c²=a²-1代入，得-a²-+2=0，所以=，
∵-a≤x≤a
∴，即，解之得1＜a²≤2
∴橢圓的離心率e==∈[，1）．
點(diǎn)評：本題給出一個特殊的橢圓，在已知橢圓上一點(diǎn)對兩個焦點(diǎn)張角為直角的情況下，求橢圓離心率的取值范圍，著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)，屬于中檔題．