Question

已知橢圓的離心率為，右焦點F也是拋物線y²=4x的焦點．
（1）求橢圓方程；
（2）若直線l與C相交于A、B兩點．
①若，求直線l的方程；
②若動點P滿足，問動點P的軌跡能否與橢圓C存在公共點？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）根據(jù)F（1，0），即c=1，據(jù)得，故，
所以所求的橢圓方程是．
（2）①當直線l的斜率為0時，檢驗知．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．，
根據(jù)得（1-x₁，-y₁）=2（x₂-1，y₂）得y₁=-2y₂．
設(shè)直線l：x=my+1，代入橢圓方程得（2m²+3）y²+4my-4=0，
故，得，
代入得，即，
解得，故直線l的方程是．
②問題等價于是不是在橢圓上存在點P使得成立．
當直線l是斜率為0時，可以驗證不存在這樣的點，
故設(shè)直線方程為l：x=my+1．
用①的設(shè)法，點P點的坐標為（x₁+x₂，y₁+y₂），
若點P在橢圓C上，則，
即，
又點A，B在橢圓上，故，
上式即，即2x₁x₂+3y₁y₂+3=0，
由①知x₁x₂=（my₁+1）（my₂+1）=m²y₁y₂+m（y₁+y₂）+1=，
代入2x₁x₂+3y₁y₂+3=0得，
解得，即．
當時，，；
當時，，．
故C上存在點使成立，
即動點P的軌跡與橢圓C存在公共點，
公共點的坐標是．
分析：（1）根據(jù)拋物線求得焦點F的坐標，求得橢圓的才，進而利用離心率求得a，則b可求得，進而求得橢圓的方程．
（2）①當直線l的斜率為0時利用可求得y₁=-2y₂．設(shè)出直線l的方程代入橢圓的方程消去x，利用韋達定理表示出y₁+y₂和y₁y₂利用建立方程求得m，則直線l的方程可得．
②問題可轉(zhuǎn)化為是不是在橢圓上存在點P使得成立．當直線l是斜率為0時，可以驗證不存在這樣的點，故設(shè)直線方程，用①的設(shè)法，可推斷出點P點的坐標，代入橢圓方程把A，B坐標代入橢圓的方程，整理求得2x₁x₂+3y₁y₂+3=0，利用（1）中y₁+y₂和y₁y₂建立等式求得m，最后分別進行驗證推斷出結(jié)論．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生分析問題和推理能力，運算能力．