Question

14．已知函數(shù)f（x）=a-$\frac{1}{{{2^x}+1}}$．
（1）判斷f（x）的單調(diào)性并用定義法證明；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時(shí)，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，設(shè)任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，然后作差，通分，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性便可判斷出f（x₁）＜f（x₂），從而得出f（x）在R上單調(diào)遞增；
（2）可知f（x）在原點(diǎn)有定義，再由f（x）為奇函數(shù)便可得出f（0）=0，這樣即可求出$a=\frac{1}{2}$；
（3）由（2）便得到$f（x）=\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{x}+1}$，由指數(shù)函數(shù)的值域及不等式的性質(zhì)便可得出f（x）的范圍，即得出f（x）的值域．

解答 解：（1）f（x）的定義域?yàn)镽，設(shè)x₁＜x₂，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}+1}-\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$=$\frac{{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$；
∵x₁＜x₂；
∴${2}^{{x}_{1}}＜{2}^{{x}_{2}}$；
∴${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在R上單調(diào)遞增；
（2）∵f（x）定義域?yàn)镽；
∴若f（x）為奇函數(shù)，則：f（0）=$a-\frac{1}{2}=0$；
∴$a=\frac{1}{2}$；
（3）f（x）為奇函數(shù)時(shí)，a=$\frac{1}{2}$；
∴$f（x）=\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{x}+1}$；
∵2^x+1＞1；
∴$0＜\frac{1}{{2}^{x}+1}＜1$；
∴$-1＜-\frac{1}{{2}^{x}+1}＜0$；
∴$-\frac{1}{2}＜f（x）＜\frac{1}{2}$；
∴f（x）的值域?yàn)?（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$．

點(diǎn)評 考查函數(shù)單調(diào)性的定義，根據(jù)單調(diào)性定義判斷一個(gè)函數(shù)單調(diào)性的方法和過程，以及奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義時(shí)滿足f（0）=0，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，指數(shù)函數(shù)的值域，以及不等式的性質(zhì)．