分析 (1)求出函數(shù)的定義域,導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)函數(shù)的符號,求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.
(2)利用(1)的結(jié)論,通過函數(shù)的最大值,轉(zhuǎn)化求解即可.
(3)由(2)知,f(x)在(1,+∞)上是減函數(shù),f(1)=0,即lnx<x-1,在x∈[2,+∞)上恒成立,令x=n2,則lnn2<n2-1,即2lnn<(n-1)(n+1),然后化簡求解即可.
解答 解:(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),f′(x)=1x−k,當(dāng)k≤0時,f′(x)=1x−k>0,f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),當(dāng)k>0時,若x∈(0,1k)時,有f′(x)=1x−k>0,若x∈(1k,+∞)時,有f′(x)=1x−k<0,則f(x)在(0,1k)上是增函數(shù),在(1k,+∞)上是減函數(shù).
(2)由(1)知k≤0時,f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),而f(1)=1-k>0,f(x)≤0不成立,故k>0,又由(1)知f(x)的最大值為f(1k),要使f(x)≤0恒成立,則f(1k)≤0即可,即-lnk≤0,得k≥1.
(3)由(2)知,當(dāng)k=1時,有f(x)≤0在(0,+∞)恒成立,且f(x)在(1,+∞)上是減函數(shù),f(1)=0,即lnx<x-1,在x∈[2,+∞)上恒成立,令x=n2,則lnn2<n2-1,即2lnn<(n-1)(n+1),從而lnnn+1<n−12,ln23+ln34+ln45+…+lnnn+1<12+22+32+…+n−12=n(n−1)4得證.
點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 2√2 | B. | 2 | C. | 3+2√2 | D. | 4+2√2 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | \sqrt{3} | B. | 1 | C. | -\sqrt{3} | D. | -1 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 2 | B. | \sqrt{3} | C. | \sqrt{2} | D. | \frac{3}{2} |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 命題①②??都正確 | B. | 命題①②??都不正確 | ||
C. | 命題?①正確,命題?②不正確 | D. | 命題?①不正確,命題?②正確 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 若α⊥γ,β⊥γ,則α∥β | B. | 若l1∥α,l1⊥β,則α∥β | ||
C. | 若α∥β,l1∥α,l2∥β,則l1∥l2 | D. | 若α⊥β,l1⊥α,l2⊥β,則l1⊥l2 | ||
E. | 若α⊥β,l1⊥α,l2⊥β,則l1⊥l2 | F. | 若α⊥β,l1⊥α,l2⊥β,則l1⊥l2 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com