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11.已知函數(shù)f(x)=lnx-kx+1.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x)≤0恒成立,試確定實數(shù)k的取值范圍;
(3)證明:ln23+ln34++lnnn+1nn14nN+n1

分析 (1)求出函數(shù)的定義域,導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)函數(shù)的符號,求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.
(2)利用(1)的結(jié)論,通過函數(shù)的最大值,轉(zhuǎn)化求解即可.
(3)由(2)知,f(x)在(1,+∞)上是減函數(shù),f(1)=0,即lnx<x-1,在x∈[2,+∞)上恒成立,令x=n2,則lnn2<n2-1,即2lnn<(n-1)(n+1),然后化簡求解即可.

解答 解:(1)函數(shù)f(x)的定義域為0+fx=1xk,當(dāng)k≤0時,fx=1xk0fx在(0,+∞)上是增函數(shù),當(dāng)k>0時,若x01k時,有fx=1xk0,若x1k+時,有fx=1xk0,則f(x)在01k上是增函數(shù),在1k+上是減函數(shù).
(2)由(1)知k≤0時,f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),而f(1)=1-k>0,f(x)≤0不成立,故k>0,又由(1)知f(x)的最大值為f1k,要使f(x)≤0恒成立,則f1k0即可,即-lnk≤0,得k≥1.
(3)由(2)知,當(dāng)k=1時,有f(x)≤0在(0,+∞)恒成立,且f(x)在(1,+∞)上是減函數(shù),f(1)=0,即lnx<x-1,在x∈[2,+∞)上恒成立,令x=n2,則lnn2<n2-1,即2lnn<(n-1)(n+1),從而lnnn+1n12ln23+ln34+ln45++lnnn+112+22+32++n12=nn14得證.

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.

練習(xí)冊系列答案
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