已知橢圓的中心為原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在 軸上，上頂點(diǎn)為 ，左、右焦點(diǎn)分別為 ，線段  的中點(diǎn)分別為 ，且△是面積為4的直角三角形。（Ⅰ）求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過 作直線交橢圓于，，求△的面積

 

【答案】

：（Ⅰ）+=1（Ⅱ）

【解析】：：（Ⅰ）如答（21）圖，設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1（），右焦點(diǎn)為因 是直角三角形且 ，故  為直角，從而，即  ，結(jié)合  得 。故  ，所以離心率  ，在 中，  故

由題設(shè)條件得 ，從而因此所求  橢圓的的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=1

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，由題意，直線的傾斜角不為0，故可設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程（*）

設(shè)  則 是上面方程的兩根，因此

 又，所以

由  ，知 ，即  ，解得

當(dāng) 時(shí)，方程（*）化為：

故 ，

的面積  當(dāng)  時(shí)，同理可得（或由對(duì)稱性可得） 的面積 綜上所述， 的面積為

 

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•道里區(qū)二模）已知橢圓的中心為原點(diǎn)，離心率e=
3
2
，且它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線x2=-4
3
y的焦點(diǎn)重合，則此橢圓方程為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心為原點(diǎn)O，一個(gè)焦點(diǎn)為F(
3
，0)，離心率為
3
2
．以原點(diǎn)為圓心的圓O與直線y=x+4
2
互相切，過原點(diǎn)的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，與圓O交于C，D兩點(diǎn)．
（1）求橢圓和圓O的方程；
（2）線段CD恰好被橢圓三等分，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心為原點(diǎn)，離心率e=
3
2
，且它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線x2=-4
3
y的焦點(diǎn)重合，則此橢圓方程為
x2+
y2
4
=1
x2+
y2
4
=1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（重慶卷解析版） 題型：解答題

已知橢圓的中心為原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在 軸上，上頂點(diǎn)為 ，左、右焦點(diǎn)分別為 ，線段  的中點(diǎn)分別為 ，且△是面積為4的直角三角形。（Ⅰ）求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）過 作直線交橢圓于，，求直線的方程

 

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