Question

【題目】已知函數(shù)．

討論函數(shù)的單調(diào)性；

若關(guān)于x的方程有唯一解，且，，求n的值．

Answer 1

【答案】(1) 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減；

（2）。

【解析】

（1）先通過函數(shù)得出解析式，再對(duì)分別進(jìn)行討論；

（2）首先可以根據(jù)設(shè)，再對(duì)進(jìn)行二次求導(dǎo)得出的最大值，并且根據(jù)方程有唯一解得出最大值等于0，然后進(jìn)行聯(lián)立方程，計(jì)算得出結(jié)果。

（1）.

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，由解得；由解得，

綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

函數(shù)在上單調(diào)遞減.

（2）由已知可得方程有唯一解，且，.

設(shè)（），

即由唯一解，，.

由，令，

則，

所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減.

又時(shí)，；時(shí)，，

故存在使得.

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

時(shí)，，在上單調(diào)遞減.

又有唯一解，則必有

由消去得.

令，

則

.

故當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.

由，，

即存在，使得即.

又關(guān)于的方程有唯一解，且，，

所以.

故。