【題目】已知函數(shù)(其中e為自然對數(shù)的底).

1)若上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍;

2)若,證明:存在唯一的極小值點,且.

【答案】1;(2)證明見解析

【解析】

1)求導(dǎo)得,則時恒成立,不等式可轉(zhuǎn)化為,求出的最小值,令即可;

2時,,求出導(dǎo)函數(shù),可知單調(diào)遞增,令,易證,從而可證明存在唯一的極小值點,再結(jié)合,可得到,從而可得到的表達(dá)式,結(jié)合,求出的取值范圍即可.

1)由題意,,則時恒成立,即時恒成立,

,則,顯然上單調(diào)遞增,則,所以只需,即滿足時恒成立,

故實數(shù)a的取值范圍是.

2,則,其定義域為

求導(dǎo)得,顯然上的增函數(shù),

,因為,所以,即

,因為,所以,即

,則上有唯一零點,且,

時,單調(diào)遞減,時,單調(diào)遞增,所以存在唯一的極小值點.

因為,所以,兩邊取對數(shù)得,即,

,

構(gòu)造函數(shù),,

顯然上單調(diào)遞減,所以,

,故,即.

所以存在唯一的極小值點,且.

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