Question

對于函數f(x)，若存在x₀∈R，使f(x₀)=x₀成立，則稱x₀為f(x)的不動點。如果函數f(x)=(b，c∈N)有且只有兩個不動點0，2，且f(-2)＜，
(1)求函數f(x)的解析式；
(2)已知各項不為零的數列{a_n}滿足4S_n·=1(S_n為數列前n項和)，求數列{a_n}的通項公式a_n；
(3)如果數列{a_n}滿足a₁=4，a_n+1=f(a_n)，求證：當n≥2時，恒有a_n＜3成立．

Answer 1

解：(1)依題意有，化簡得(1-b)x²+cx+a=0，
由韋達定理，得，解得，
代入表達式得，
由得c＜3，
又c∈N，b∈N，
若c=0，b=1，則f(x)=x，不滿足題意，
∴c=2，b=2，
故。
(2)由題設得，得：， (*)
且a_n≠1，用n-1代n得：，(**)
(*)與(**)兩式相減得：，
即，
∴或，
把n=1代入(*)得：，
解得a₁=0(舍去)或a₁=-1，
若，得a₂=1，這與a_n≠1矛盾，
∴，即{a_n}是以-1為首項，-1為公差的等差數列，
∴a_n=-n。
(3)采用反證法，假設a_n≥3(n≥2)，則由(1)知，
∴，
即，有，
而當n=2時，，
∴a_n＜3，這與假設矛盾，故假設不成立，
∴a_n＜3。