設(shè)直線系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π),對(duì)于下列四個(gè)結(jié)論:
(1)當(dāng)直線垂直y軸時(shí),θ=0或π;
(2)當(dāng)θ=
π6
時(shí),直線的傾斜角為120°;
(3)M中所有直線均經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn);
(4)存在定點(diǎn)P不在M中的任意一條直線上.
其中正確的是
(2)(4)
(2)(4)
(寫出所有正確的代號(hào))
分析:(1)當(dāng)直線垂直y軸時(shí),斜率
-cosθ
sinθ
=0,可得θ 的值,從而得到(1)不正確.
(2)當(dāng)θ=
π
6
時(shí),求出直線的斜率,從而求出傾斜角為120°,故(2)正確.
(3)驗(yàn)證發(fā)現(xiàn),直線系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π)表示圓x2+(y-2)2=1的切線的集合,不會(huì)經(jīng)過定點(diǎn),
可得(3)不正確.
(4)存在定點(diǎn)P(0,2 )不在M中的任一條直線上,可得(4)正確.
解答:解:直線系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π),即xcosθ+ysinθ-2sinθ-1=0,
(1)當(dāng)直線垂直y軸時(shí),斜率
-cosθ
sinθ
=0,即cosθ=0,可得 θ=
π
2
,或 θ=
2
,故(1)不正確.
(2)當(dāng)θ=
π
6
時(shí),直線的斜率等于
-cosθ
sinθ
=-
3
,故直線的傾斜角為120°,故(2)正確.
(3)驗(yàn)證發(fā)現(xiàn),直線系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π)表示圓x2+(y-2)2=1的切線的集合,
不會(huì)經(jīng)過定點(diǎn),故(3)不正確.
(4)存在定點(diǎn)P不在M中的任一條直線上,觀察知點(diǎn)P(0,2)即符合條件,故(4)正確.
故答案為 (2)(4).
點(diǎn)評(píng):本題考查直線系方程的應(yīng)用,依據(jù)直線系M表示圓 x2+(y-2)2=1 的切線的集合,本題易因?yàn)橛^察不知直線系所具有的幾何特征而導(dǎo)致后兩個(gè)命題的真假無法判斷,對(duì)問題進(jìn)行深入分析是發(fā)現(xiàn)其意義的捷徑,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)直線系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π),對(duì)于下列四個(gè)命題:A、存在一個(gè)圓與所有直線相交;B、存在一個(gè)圓與所有直線不相交;C、存在一個(gè)圓與所有直線相切;D、M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等
其中真命題的代號(hào)是
 
(寫出所有真命題的代號(hào)).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)直線系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π),對(duì)于下列四個(gè)命題:
(1)M中所有直線均經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn);
(2)存在定點(diǎn)P不在M中的任一條直線上;
(3)對(duì)于任意正整數(shù)n(n≥3),存在正n邊形,其所有邊均在M中的直線上;
(4)M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等.
其中真命題的序號(hào)是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)直線系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π),則下列命題中是真命題的個(gè)數(shù)是(  )
①存在一個(gè)圓與所有直線相交②存在一個(gè)圓與所有直線不相交;
③存在一個(gè)圓與所有直線相切④M中所有直線均經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn);
⑤不存在定點(diǎn)P不在M中的任一條直線上;
⑥對(duì)于任意整數(shù)n(n≥3),存在正n邊形,其所有邊均在M中的直線上;
⑦M(jìn)中的直線所能圍成的正三角形面積都相等.
A、3B、4C、5D、6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓Mx2+y2-2tx-6t-10=0,橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),若橢圓C與x軸的交點(diǎn)A(5,y0)到其右準(zhǔn)線的距離為
10
3
;點(diǎn)A在圓M外,且圓M上的點(diǎn)和點(diǎn)A的最大距離與最小距離之差為2.
(1)求圓M的方程和橢圓C的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)P為橢圓C上任意一點(diǎn),自點(diǎn)P向圓M引切線,切點(diǎn)分別為A、B,請(qǐng)?jiān)囍デ?span id="rz1fjdp" class="MathJye">
P
A•
P
B的取值范圍;
(3)設(shè)直線系M:xcosθ+(y-3)sinθ=1(θ∈R);求證:直線系M中的任意一條直線l恒與定圓相切,并直接寫出三邊都在直線系M中的直線上的所有可能的等腰直角三角形的面積.

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同步練習(xí)冊(cè)答案