Question

已知點(diǎn)A（6，3）和F（3，0），M為橢圓

x2

25

+

y2

16

=1上的點(diǎn)，則5|MF|-3|MA|的最大值為

7

．

Answer 1

分析：先計(jì)算橢圓的離心率、右準(zhǔn)線(xiàn)方程，再利用橢圓的第二定義，將所求最大值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求M到右準(zhǔn)線(xiàn)的距離減M到定點(diǎn)A的距離的最大值，最后數(shù)形結(jié)合找到M的位置，求得最值

解答：解：∵橢圓方程為

x2

25

+

y2

16

=1，∴a=5，b=4，∴c=3
∴F（3，0）為橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓的離心率e=

c

a

=

3

5

，右準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=

a2

c

=

25

3

設(shè)M到右準(zhǔn)線(xiàn)x=

25

3

的距離為d，則

|MF|

d

=e，即d=

1

e

|MF|
∴5|MF|-3|MA|=3（

5

3

|MF|-|MA|）=3（

1

e

|MF|-|MA|）=3（d-|MA|）
而由圖可知，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A共線(xiàn)時(shí)，d-|MA|取得最大值為點(diǎn)A到右準(zhǔn)線(xiàn)的距離

25

3

-6=

7

3

∴5|MF|-3|MA|=3（d-|MA|）的最大值為3×

7

3

=7
故答案為 7

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的第二定義的應(yīng)用，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，轉(zhuǎn)化化歸和數(shù)形結(jié)合的思想方法