Question

7．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，BC=1，且AC⊥BC，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為AC，AB，A₁C₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：A₁D⊥平面ABC；
（Ⅱ）求證：EF∥平面BB₁C₁C；
（Ⅲ）寫(xiě)出四棱錐A₁-BB₁C₁C的體積．（只寫(xiě)出結(jié)論，不需要說(shuō)明理由）

Answer 1

分析 （1）由三線(xiàn)合一得A₁D⊥AC，再利用面面垂直的性質(zhì)得出A₁D⊥平面ABC；
（2）取B₁C₁的中點(diǎn)為G，連結(jié)FG，GB，則可證明四邊形FGBE為平行四邊形，從而EF∥BG，于是EF∥平面BB₁C₁C；
（3）過(guò)A₁作A₁M⊥CC₁，垂足為M，則可證明A₁M⊥平面BCC₁B₁．于是A₁M為四棱錐A₁-BB₁C₁C的高，底面為矩形，代入體積公式計(jì)算即可．

解答 證明：（Ⅰ）∵△AA₁C中，AA₁=A₁C，D為AC中點(diǎn)，
∴A₁D⊥AC；
又∵側(cè)面AA₁C₁C⊥底面ABC，側(cè)面AA₁C₁C∩底面ABC=AC，A₁D?平面AA₁C₁C，
∴A₁D⊥平面ABC．
（Ⅱ）取B₁C₁的中點(diǎn)為G，連結(jié)FG，GB
∵F，G是A₁C₁，B₁C₁的中點(diǎn)，
∴FG∥A₁B₁，且FG=$\frac{1}{2}$A₁B₁，
又EB∥A₁B₁，且EB=$\frac{1}{2}$A₁B₁，
∴FG∥EB，F(xiàn)G=EB，
∴四邊形FGBE為平行四邊形；
∴EF∥BG，
又∵BG?平面BB₁C₁C，EF?BB₁C₁C，
∴EF∥平面BB₁C₁C．
（Ⅲ）過(guò)A₁作A₁M⊥CC₁，垂足為M，
∵A₁D⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴A₁D⊥BC，又AC⊥BC，AC?平面ACC₁A₁，A₁D?平面ACC₁A₁，AC∩A₁D=D，
∴BC⊥平面ACC₁A₁，∵A₁M?平面ACC₁A₁，CC₁?平面ACC₁A₁，
∴BC⊥A₁M，BC⊥CC₁．
又A₁M⊥CC₁，BC∩CC₁=C，BC?平面BCC₁B₁，CC₁?平面BCC₁B₁，
∴A₁M⊥平面BCC₁B₁．
∵AA₁C₁C是平行四邊形，AA₁=AC=A₁C=2，
∴△A₁CC₁是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，∴A₁M=$\sqrt{3}$．
∴四棱錐A₁-BB₁C₁C的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{矩形B{B}_{1}{C}_{1}C}•{A}_{1}M$=$\frac{1}{3}×1×2×\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線(xiàn)面垂直，線(xiàn)面平行的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．