如圖甲,在△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC,D為.垂足,則AB2=BD•BC,該結論稱為射影定理.如圖乙,在三棱錐A-BCD中,AD⊥平面ABC,AO⊥平面BCD,O為垂足,且O在△BCD內,類比射影定理,探究S△ABC、S△BCO、S△BCD這三者之間滿足的關系是   
【答案】分析:首先猜想出結論:.,再進行證明:在△BCD內,延長DO交BC于E,連接AE,利用線面垂直的判定與性質可以證出AE⊥BC且DE⊥BC,從而AE、EO、ED分別是△ABC、△BCO、△BCD的邊BC的高線,然后在Rt△ADE中,利用已知條件的結論得到AE2=EO•ED,再變形整理得到,說明猜想正確.
解答:解:結論:
證明如下
在△BCD內,延長DO交BC于E,連接AE,
∵AD⊥平面ABC,BC?平面ABC,
∴BC⊥AD,
同理可得:BC⊥AO
∵AD、AO是平面AOD內的相交直線,
∴BC⊥平面AOD
∵AE、DE?平面AOD
∴AE⊥BC且DE⊥BC
∵△AED中,EA⊥AD,AO⊥DE
∴根據(jù)題中的已知結論,得AE2=EO•ED
兩邊都乘以(BC)2,得(BC•AE)2=(BC•EO)•(BC•ED)
∵AE、EO、ED分別是△ABC、△BCO、△BCD的邊BC的高線
∴S△ABC=BC•AE,S△BC0=BC•EO,S△BCD=BC•ED
所以有,結論成立.
點評:本題以平面幾何中的射影定理為例,將其推廣到空間的一個正確的命題并加以證明,著重考查了類比推理和空間的線面垂直的判定與性質等知識點,屬于基礎題.
練習冊系列答案
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S△ABC2=S△BCOS△BCD
S△ABC2=S△BCOS△BCD

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