Question

若函數(shù)f（x）=

1-|x-1|，x∈(-∞，2) 1 3 f(x-2)，x∈[2，+∞)

，則函數(shù)F（x）=xf（x）-1零點個數(shù)為

 

．

Answer 1

分析：本題即函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=

1

x

的圖象的交點個數(shù)，在同一坐標系中畫出兩個函數(shù)圖象，數(shù)形結合可得兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=

1-|x-1|，x∈(-∞，2) 1 3 f(x-2)，x∈[2，+∞)

，
故函數(shù)F（x）=xf（x）-1零點個數(shù)，
即方程f（x）=

1

x

 的根的根數(shù)，即函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=

1

x

的圖象的交點個數(shù)．
在同一坐標系中畫出兩個函數(shù)圖象如下圖所示：
由圖可知函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=

1

x

圖象共有3個交點，分別為A（-1，-1）、B（1，1）、
C（3，

1

3

），
故函數(shù)F（x）=xf（x）-1的零點個數(shù)為3個，
故答案為：3．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)零點的判定定理，其中將求函數(shù)零點的問題轉化為求兩個函數(shù)圖象交點的問題是解答本題的關鍵，屬于中檔題．