分析 (I)連接AB1交A1B于點M,連接MD.利用中位線定理得出B1C∥MD,故而B1C∥平面A1BD;
(II)作CO⊥AB于點O,以O(shè)為坐標(biāo)原點建立空間坐標(biāo)系,設(shè)AE=a,分別求出平面B1C1E和平面A1BD的法向量,令兩法向量垂直解出a.
解答 解:(I)連接AB1交A1B于點M,連接MD.
∵三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,∴四邊形BAA1B1是矩形,
∴M為AB1的中點.
∵D是AC的中點,∴MD∥B1C.
又MD?平面A1BD,B1C?平面A1BD,
∴B1C∥平面A1BD.
(II)作CO⊥AB于點O,則CO⊥平面ABB1A1,
以O(shè)為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系,假設(shè)存在點E,設(shè)E(1,a,0).
∵AB=2,AA1=√3,D是AC的中點,∴A(1,0,0),B(-1,0,0),C(0,0,√3),A1(1,√3,0),B1(-1,√3,0),C1(0,√3,√3).
∴D(12,0,√32),→BD=(32,0,√32),→BA1=(2,√3,0).
設(shè)是平面A1BD的法向量為→n1=(x,y,z),∴→n1⊥→BD,→n1⊥→BA1,
∴{3x2+√3z2=02x+√3y=0,令x=-√3,得→n1=(-√3,2,3).
∵E(1,a,0),則→C1E=(1,a-√3,-√3),→C1B1=(-1,0,-√3).
設(shè)平面B1C1E的法向量為→n2=(x,y,z),∴→n2⊥→C1E,→n2⊥→C1B1.
∴{x+(a−√3)y−√3z=0−x−√3z=0,令z=-√3,得→n2=(3,6√3−a,-√3).
∵平面B1C1E⊥平面A1BD,∴→n1•→n2=0,
即-3√3+12√3−a-3√3=0,解得a=√33.
∴存在點E,使得平面B1C1E⊥平面A1BD,且AE=√33.
點評 本題考查了線面平行的判定,面面垂直的判定與性質(zhì),屬于中檔題.
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A. | (-∞,0) | B. | (-∞,0] | C. | (1,+∞) | D. | [1,+∞) |
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A. | -15 | B. | 15 | C. | 20 | D. | -20 |
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