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2.如圖所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長是2,側(cè)棱長是3,D是AC的中點.
(Ⅰ)求證:B1C∥平面A1BD;
(Ⅱ)在線段AA1上是否存在一點E,使得平面B1C1E⊥平面A1BD?若存在,求出AE的長;若不存在,說明理由.

分析 (I)連接AB1交A1B于點M,連接MD.利用中位線定理得出B1C∥MD,故而B1C∥平面A1BD;
(II)作CO⊥AB于點O,以O(shè)為坐標(biāo)原點建立空間坐標(biāo)系,設(shè)AE=a,分別求出平面B1C1E和平面A1BD的法向量,令兩法向量垂直解出a.

解答 解:(I)連接AB1交A1B于點M,連接MD.
∵三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,∴四邊形BAA1B1是矩形,
∴M為AB1的中點.
∵D是AC的中點,∴MD∥B1C.
又MD?平面A1BD,B1C?平面A1BD,
∴B1C∥平面A1BD.
(II)作CO⊥AB于點O,則CO⊥平面ABB1A1
以O(shè)為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系,假設(shè)存在點E,設(shè)E(1,a,0).
∵AB=2,AA1=3,D是AC的中點,∴A(1,0,0),B(-1,0,0),C(0,0,3),A1(1,3,0),B1(-1,3,0),C1(0,3,3).
∴D(12,0,32),BD=(32,0,32),BA1=(2,3,0).
設(shè)是平面A1BD的法向量為n1=(x,y,z),∴n1BDn1BA1,
{3x2+3z2=02x+3y=0,令x=-3,得n1=(-3,2,3).
∵E(1,a,0),則C1E=(1,a-3,-3),C1B1=(-1,0,-3).
設(shè)平面B1C1E的法向量為n2=(x,y,z),∴n2C1En2C1B1
{x+a3y3z=0x3z=0,令z=-3,得n2=(3,63a,-3).
∵平面B1C1E⊥平面A1BD,∴n1n2=0,
即-33+123a-33=0,解得a=33
∴存在點E,使得平面B1C1E⊥平面A1BD,且AE=33

點評 本題考查了線面平行的判定,面面垂直的判定與性質(zhì),屬于中檔題.

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