Question

5．在直角坐標(biāo)標(biāo)系xoy中，已知曲線${C_1}：\left\{{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y={{sin}^2}α-\frac{9}{4}}\end{array}}\right.$（α為參數(shù)，α∈R），在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中（取相同的長(zhǎng)度單位），曲線${C_2}：ρsin（θ+\frac{π}{4}）$=$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，曲線C₃：ρ=2cosθ．
（Ⅰ）求曲線C₁與C₂的交點(diǎn)M的直角坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)A，B分別為曲線C₂，C₃上的動(dòng)點(diǎn)，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出曲線C₁的普通方程和曲線C₂的直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立方程組能求出曲線C₁與C₂的交點(diǎn)M的直角坐標(biāo)．
（Ⅱ）曲線C₃是以C（1，0）為圓心，半徑r=1的圓，求出圓心C₃到直線x+y+1=0的距離d，由此能求出|AB|的最小值．

解答 解：（Ⅰ）曲線${C_1}：\left\{{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y={{sin}^2}α-\frac{9}{4}}\end{array}}\right.$（α為參數(shù)，α∈R），消去參數(shù)α，
得：y=-$\frac{5}{4}$-（x-1）²，x∈[0，2]，①
∵曲線${C_2}：ρsin（θ+\frac{π}{4}）$=$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴ρcosθ+ρsinθ+1=0，
∴曲線C₂：x+y+1=0，②，
聯(lián)立①②，消去y可得：4x²-12x+5=0，解得x=$\frac{1}{2}$或x=$\frac{5}{2}$（舍去），
∴M（$\frac{1}{2}，-\frac{3}{2}$）．…（5分）
（Ⅱ）曲線C₃：ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，
∴曲線C₃：（x-1）²+y²=1，是以C₃（1，0）為圓心，半徑r=1的圓
圓心C₃到直線x+y+1=0的距離為d=$\sqrt{2}$，
∴|AB|的最小值為$\sqrt{2}-1$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)的求法，考查線段的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．