Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩準(zhǔn)線間距離為6，離心率e=

3

3

．過橢圓上任意一點(diǎn)P，作右準(zhǔn)線的垂線PH（H為垂足），并延長(zhǎng)PH到Q，使得

PH

=λ

HQ

(λ＞0)．F₂為該橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀）．
（1）求橢圓方程；
（2）求證：PF2=

3-x0

3

；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究是否存在實(shí)數(shù)λ，使得點(diǎn)Q在同一個(gè)定圓上，若存在，求出λ的值及定圓方程；否則，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓的兩準(zhǔn)線間距離為6，離心率e=

3

3

．可以找到關(guān)于a，b，c的3個(gè)等式，求出a，b，c，進(jìn)而求出橢圓方程．
（2）利用橢圓的第二定義，可知

PF2

PH

=e=

1

3

．再根據(jù)PH=3-x₀，就可求出PF2=

3-x0

3

．結(jié)論得證．
（3）先假設(shè)點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)λ，使得點(diǎn)Q在同一個(gè)定圓上．再根據(jù)

PH

=λ

HQ

(λ＞0)可找到P，Q，H點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，求λ．若能求出，則λ存在，若求不出，則λ不存在．

解答：解：（1）∵橢圓的兩準(zhǔn)線間距離為6，∴

2c2

a

=6，∵離心率e=

3

3

．∴

c

a

=

3

3

．
又∵a²=b²+c²，得a=

3

，b=

2

∴橢圓方程為

x2

3

+

y2

2

=1
（2）離心率e=

1

3

，右準(zhǔn)線方程：x=3
∴

PF2

PH

=e=

1

3

，又∴PF2=

1

3

•(3-x0)=

3-x0

3

．
（3）設(shè)Q的坐標(biāo)為（x，y），H（3，y₀），∴y=y₀．∵

PH

=λ

HQ

(λ＞0)
∴3-x₀=λ（x-3），∴x₀=3λ+3-λx
又∵

x02

3

+

y02

2

=1，∴

(3λ+3-λx)2

3

+

y2

2

=1，即

(x- 3λ+3 λ )2

3 λ2

+

y2

2

=1，
當(dāng)且僅當(dāng)

3

λ2

=2，即λ=

6

2

時(shí)，
點(diǎn)Q在定圓(x-3-

6

)2+y2=2上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓方程的求法，以及存在性問題的解法，做題時(shí)要認(rèn)真分析．