Question

定義函數(shù)f（x）如下：對于實數(shù)x，如果存在整數(shù)m，使得|x-m|＜

1

2

，則f（x）=m．已知等比數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，公比為q＜0，又f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）=3，則q的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的通項公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：利用新定義函數(shù)f（x），對q分類討論即可得出．

解答： 解：∵等比數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，公比為q＜0，
∴an=qn-1．
①假設(shè)-

1

2

＜q＜0，
∵a₁=1，∴由|1-m|＜

1

2

，可得m=1．
∴f（a₁）=1．
∵a₂=q，∴由|q-m|＜

1

2

，可得m=-1，∴f（a₂）=-1，
同理由a₃=q²，可得f（a₃）=0，
不滿足f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）=3，舍去．
②當(dāng)q=-

1

2

時，f（a₁）=1，|-

1

2

-m|＜

1

2

，m無整數(shù)解，舍去．
③當(dāng)-1＜q＜-

1

2

時，f（a₁）=1，
由|q-m|＜

1

2

，可得m=-1，∴f（a₂）=-1．
由|q2-m|＜

1

2

，可得m≠3，不滿足f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）=3，舍去．
④當(dāng)q=-1時，f（a₁）=1，|-1-m|＜

1

2

，m=-1，可得f（a₂）=-1．
由|q2-m|＜

1

2

，可得m=1，不滿足f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）=3，舍去．
⑤當(dāng)-

3

2

＜q＜-1時，f（a₁）=1，由|q-m|＜

1

2

，可得m=-1，∴f（a₂）=-1．
∵滿足f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）=3，∴m=3．
不滿足|q²-3|＜

1

2

，舍去．
⑥當(dāng)q=-

3

2

時，f（a₁）=1，由|-

3

2

-m|＜

1

2

，m無整數(shù)解，舍去．
⑦當(dāng)-2＜q＜-

3

2

時，f（a₁）=1，由|q-m|＜

1

2

，可得m=-2，∴f（a₂）=-2．
∵滿足f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）=3，
∴m=4．
由|q2-4|＜

1

2

，可得

7

2

＜q2＜

9

2

，而

9

4

＜q2＜4，
∴

7

2

＜q2＜4，解得-2＜q＜-

14

2

．
⑧當(dāng)m≤-2時，都不滿足條件．
綜上可得：q的取值范圍是(-2，-

14

2

)．
故答案為：(-2，-

14

2

)．

點評：本題考查了新定義函數(shù)、分類討論思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．