(2011•門頭溝區(qū)一模)已知曲線y=ax3+bx2+cx+d滿足下列條件:
①過原點;②在x=0處導(dǎo)數(shù)為-1;③在x=1處切線方程為y=4x-3.
(Ⅰ) 求實數(shù)a、b、c、d的值;
(Ⅱ)求函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d的極值.
分析:(I)欲求實數(shù)a、b、c、d的值,利用在x=0處的切線方程,只須求出其斜率的值即可,故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=0處的導(dǎo)函數(shù)值,再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率.從而問題解決.
(II)把(1)求出的實數(shù)a、b、c、d的值代入導(dǎo)函數(shù)中確定出解析式,令導(dǎo)函數(shù)等于0求出x的值,根據(jù)x的值分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負,進而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,得到函數(shù)的極大值和極小值.
解答:解(Ⅰ)y′=3ax2+2bx+c根據(jù)條件有
d=0
c=-1
3a+2b+c=4
a+b+c+d=1
解得
a=1
b=1
c=-1
d=0
(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)y=x3+x2-x,y′=3x2+2x-1,(7分)
y′=0x=
1
3
或-1(9分)
x,y,y′的關(guān)系如表所示
x (-∞,-1) -1 (-1,
1
3
1
3
1
3
.+∞)
y′ + 0 - 0 +
y 極大值1 極小 -
5
27
因此函數(shù)y=x3+x2-x在x=-1處有極大值1,在x=
1
3
處有極小值-
5
27
.(13分)
點評:此題考查學生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率,會利用導(dǎo)函數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)性并根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值,是一道中檔題.
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