Question

9．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，（a+b-c）（a+b+c）=ab．
（1）求角C的大�。�
（2）若c=2acosB，b=2，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理表示出cosC，把已知等式整理后代入計(jì)算求出cosC的值，即可確定出C的度數(shù)．
（2）由正弦定理可得sin（A+B）=2sinAcosB，由兩角和的正弦公式可求得sin（A-B）=0，根據(jù)-π＜A-B＜π，可求A-B=0，可得a=b=2，利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．

解答 解：（1）在△ABC中，∵（a+b-c）（a+b+c）=ab，
∴（a+b）²-c²=ab，即a²+b²-c²=-ab，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=-$\frac{1}{2}$，
∵C為三角形內(nèi)角，
∴C=$\frac{2π}{3}$．
（2）∵c=2acosB，
∴由正弦定理可得 sin（A+B）=2sinAcosB，由兩角和的正弦公式可得 sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，
∴sin（A-B）=0，又-π＜A-B＜π，
∴A-B=0，可得：a=b=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×2×2×$$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了余弦定理，正弦定理，三角形面積公式，兩角和的正弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值在解三角形中的應(yīng)用，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．