Question

16．已知ω＞0，函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinωx+cosωx）在（$\frac{π}{2}$，π）上單調(diào)遞減，則實數(shù)ω的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$]
• B． [$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]
• C． （0，$\frac{1}{2}$]
• D． （0，2]

Answer 1

分析 求出f（x）的單調(diào)減區(qū)間A，令（$\frac{π}{2}$，π）⊆A，解出ω的范圍．

解答 解：f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinωx+cosωx）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$），
∴$\frac{π}{2}+2kπ$≤ωx+$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{2}+2kπ$，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
$\frac{π}{4ω}+\frac{2kπ}{ω}≤x≤\frac{5π}{4ω}+\frac{2kπ}{ω}$，k∈Z，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，

$\left\{\begin{array}{l}{\frac{π}{4ω}+\frac{2kπ}{ω}≤\frac{π}{2}}\\{\frac{5π}{4ω}+\frac{2kπ}{ω}≥π}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}$+4k≤ω≤$\frac{5}{4}$+2k，k∈Z，
故選：A．

點評 本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題．