Question

（本小題滿分12分）如圖，橢圓的離心率為，直線和所圍成的矩形ABCD的面積為8.

 

(Ⅰ)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ) 設(shè)直線與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)與矩形ABCD有兩個(gè)不同的交點(diǎn).求的最大值及取得最大值時(shí)m的值.

 

Answer 1

【答案】

(I) .(II) 時(shí)，取得最大值.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)已知中的離心率和矩形的面積得到a,b,c的方程，進(jìn)而求解橢圓方程。

（2）將已知中的直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，那么得到弦長(zhǎng)公式，同時(shí)以及得到點(diǎn)S,T的坐標(biāo)，進(jìn)而得到比值。

(I)……①

矩形ABCD面積為8，即……②

由①②解得：，  ∴橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

(II)，

設(shè)，則，

當(dāng)  .

當(dāng)時(shí)，有，

，

其中，由此知當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.

考點(diǎn)：本試題主要考查了橢圓方程的求解以及直線與橢圓位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是運(yùn)用代數(shù)的方法來(lái)解決解析幾何問(wèn)題時(shí)，解析幾何的本質(zhì)。能結(jié)合橢圓的性質(zhì)得到其方程，并聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理和判別式的到比值。