Question

已知不等式|x+4|+|x-m|≤5的解集為{x|-4≤x≤1}．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a²+2b²+3c²=m，求a+4b+9c的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法,二維形式的柯西不等式

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由于|x+4|+|x-m|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-4和m對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，而-4、1對(duì)應(yīng)點(diǎn)距離之和正好等于5，由此求得m的解；
（Ⅱ）可令

m

=（1，2

2

，3

3

），

n

=（a，

2

b，

3

c），運(yùn)用不等式|

m

•

n

|=|

m

|•|

n

|•|cos＜

m

，

n

＞|≤|

m

|•|

n

|，計(jì)算即可得到最值．

解答： 解：（Ⅰ）根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義可得，
|x+4|+|x-m|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-4和m對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，
而-4、1對(duì)應(yīng)點(diǎn)距離之和正好等于5，
∴m=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a²+2b²+3c²=1．
可令

m

=（1，2

2

，3

3

），

n

=（a，

2

b，

3

c），
則

m

•

n

=a+4b+9c，|

m

|=

1+8+27

=6，|

n

|=

a2+2b2+3c2

，
由于|

m

•

n

|=|

m

|•|

n

|•|cos＜

m

，

n

＞|≤|

m

|•|

n

|，
當(dāng)

m

，

n

共線時(shí)，取得等號(hào)．
則|a+4b+9c|≤6

a2+2b2+3c2

=6
則有-6≤a+4b+9c≤6，
則a+4b+9c的最小值為-6，最大值為6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查絕對(duì)值的幾何意義，考查運(yùn)用向量法求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．