已知△ABC中，|
AB
|•|
AC
|=4且0≤
AB
•
AC
≤2
3
，設
AB
和
AC
的夾角θ．
（1）求θ的取值范圍；
（2）求函數(shù)y=2sin2θ-
3
sin2θ的最大值與最小值．
分析：（1）由已知條件|
AB
|•|
AC
|=4且0≤
AB
•
AC
≤2
3
結合公式cosθ=
AB
•
AC
|
AB
|•|
AC
|
，易求得θ的余弦值的范圍，再求出θ的取值范圍；
（2）由題意，可先將函數(shù)進行恒等變形，將函數(shù)y=2sin2θ-
3
sin2θ變?yōu)閥=1-2sin(
π
6
+2θ)，再由（1）知
π
6
≤θ≤
π
2
，即可求得函數(shù)的最值；
解答：解：（1）由已知條件|
AB
|•|
AC
|=4且0≤
AB
•
AC
≤2
3
及公式cosθ=
AB
•
AC
|
AB
|•|
AC
|

得：0≤cosθ≤
3
2
，
故
π
6
≤θ≤
π
2
．
（2）y=2sin2θ-
3
sin2θ=1-cos2θ-
3
sin2θ=1-2sin(
π
6
+2θ)
由
π
6
≤θ≤
π
2
，得
π
2
≤
π
6
+2θ≤
5π
6
，從而
1
2
≤sin(
π
6
+2θ)≤1，
∴-1≤y≤0，即函數(shù)的最大值為0，最小值為-1
點評：本題是平面向量與三角綜合題考查了向量求夾角公式，知三角函數(shù)值求角，三角函數(shù)數(shù)的恒等變形及根據(jù)三角函數(shù)的有界性求三角函數(shù)的最值，熟練掌握數(shù)量積求夾角公式及三角函數(shù)恒等變形公式是解題的關鍵，本題的難點是第二問中判斷三角函數(shù)的最值．這是一個復合函數(shù)求最值的問題，解題技巧是由內而外逐層求解．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC中，A=60°，a=
15
，c=4，那么sinC=
2
5
5
2
5
5
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC中，A（4，2），B（1，8），C（-1，8）．
（1）求AB邊上的高所在的直線方程；
（2）直線l∥AB，與AC，BC依次交于E，F(xiàn)，S△CEF：S△ABC=1：4．求l所在的直線方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC中，a=2，b=1，C=60°，則邊長c=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC中，a=2
3
，若
m
=(-cos
A
2
，sin
A
2
)，
n
=(cos
A
2
，sin
A
2
)滿足
m
•
n
=
1
2
．（1）若△ABC的面積S=
3
，求b+c的值．（2）求b+c的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，且
(AB)2
=
AB
•
AC
+
BA
•
BC
+
CA
•
CB
．
（Ⅰ）判斷△ABC的形狀，并求t=sinA+sinB的取值范圍；
（Ⅱ）若不等式a2（b+c）+b2（c+a）+c2（a+b）≥kabc，對任意的滿足題意的a，b，c都成立，求k的取值范圍．

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