Question

已知函數(shù)f（x）=sin2x-2sin²x
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期．
（2）求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間．
（3）求函數(shù)f（x）的最大值及f（x）取最大值時(shí)x的集合．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先通過(guò)恒等變換把函數(shù)變換成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出最小正周期．
（2）利用整體思想求出單調(diào)增區(qū)間．
（3）利用整體死刑進(jìn)一步求出函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=sin2x-2sin²x=sin2x+cos2x-1=

2

sin(2x+

π

4

)-1
則：T=π
（2）函數(shù)f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)-1
則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間：令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）
解得：kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

（k∈Z）
故單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）
（3）當(dāng)2x+

π

4

=2kπ+

π

2

時(shí)，即：x=kπ+

π

8

時(shí)，f(x)max=

2

+1
當(dāng)2x+

π

4

=2kπ-

π

2

時(shí)，即：x=kπ-

3π

8

時(shí)，f(x)min=-

2

+1
故答案為：（1）T=π
（2）故單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）
（3）當(dāng)2x+

π

4

=2kπ+

π

2

時(shí)，即：x=kπ+

π

8

時(shí)，f(x)max=

2

+1
當(dāng)2x+

π

4

=2kπ-

π

2

時(shí)，即：x=kπ-

3π

8

時(shí)，f(x)min=-

2

+1

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的恒等變換，正弦型函數(shù)的最小正周期，正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值