Question

20．求證：a，b，c為正實(shí)數(shù)的充要條件是a+b+c＞0，且ab+bc+ca＞0和abc＞0．

Answer 1

分析 必要性（直接證法），比較容易證明，充分性（反證法）：假設(shè)a，b，c是不全為正的實(shí)數(shù)，由于abc＞0，則它們只能是兩負(fù)一正，不妨設(shè)a＜0，b＜0，c＞0．
經(jīng)過(guò)推理得到a+b+c＜0與條件相矛盾，故故假設(shè)不成立，原結(jié)論成立，即a，b，c均為正實(shí)數(shù)．

解答 證明：必要性（直接證法）：
∵a，b，c為正實(shí)數(shù)，
∴a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0，abc＞0，
因此必要性成立．
充分性（反證法）：
假設(shè)a，b，c是不全為正的實(shí)數(shù)，由于abc＞0，
則它們只能是兩負(fù)一正，不妨設(shè)a＜0，b＜0，c＞0．
又∵ab+bc+ca＞0，∴a（b+c）+bc＞0，且bc＜0，
∴a（b+c）＞0．①
又∵a＜0，∴b+c＜0．∴a+b+c＜0
這與a+b+c＞0相矛盾．
故假設(shè)不成立，原結(jié)論成立，即a，b，c均為正實(shí)數(shù)．
綜上所述：a，b，c為正實(shí)數(shù)的充要條件是a+b+c＞0，且ab+bc+ca＞0和abc＞0

點(diǎn)評(píng) 此題考查必要條件、充分條件與充要條件的判別，同時(shí)考查了反證法，屬于中檔題．