Question

已知函數（0＜φ＜π，ω＞0）為偶函數，且函數y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）將函數y=f（x）的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象，求g（x）的單調遞減區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先用兩角和公式對函數f（x）的表達式化簡得f（x）=2sin（ωx+φ-），利用偶函數的性質即f（x）=f（-x）求得ω，進而求出f（x）的表達式，把x=代入即可．
（Ⅱ）根據三角函數圖象的變化可得函數g（x）的解析式，再根據余弦函數的單調性求得函數g（x）的單調區(qū)間．
解答：解：（Ⅰ）==．
∵f（x）為偶函數，
∴對x∈R，f（-x）=f（x）恒成立，
∴．
即，
整理得．
∵ω＞0，且x∈R，所以．
又∵0＜φ＜π，故．
∴．
由題意得，所以ω=2．
故f（x）=2cos2x．
∴．
（Ⅱ）將f（x）的圖象向右平移個單位后，得到的圖象，再將所得圖象橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到的圖象．
∴．
當（k∈Z），
即（k∈Z）時，g（x）單調遞減，
因此g（x）的單調遞減區(qū)間為（k∈Z）．
點評：本題主要考查了三角函數的恒等變換和三角函數圖象的應用．屬基礎題．